由(2)得 cot ed6 dn(u2+a2), 积分得1 sine=-dn(u2+a2)+C,于是 + cos0 Vu2+a2-C2 积分得v=C u+a-C2Vu +a? +C2取不同的常数得不同的测地线,其中C 取零时,得直母线 P17011利用刘维尔公式证明:(1)平面上的测地线是直线;(2)圆柱面上的测地线 是圆柱螺线 证明(1)法1对于平面I=du2+dv2E=G=1E,=Gn=0 ne 由测地线方程,得 de 所以b=C1,v=(tanb)u+C2即测地线是直线 法2平面上任一点的任意方向作直线,则一定是过该点测地线,由测地线的唯 性,知道平面上的测地线一定是直线 法3r=r(u(s),u2(s)为平面的测地线,n为平面的单位法向量 则『∥n而i.n=0,n是常向量(i·n)'=0,即i·n=0 所以r=0,进而k=|r|=0 (2)对于圆柱面r={ Rosy, Sinu,v}E=R2,F=0,G 第29讲第7页共8页第 29 讲 第 7 页 共 8 页 由（2）得 cot  d  ＝－ 1 2 dln（u 2 +a 2 ）， 积分得 lnsin  ＝－ 1 2 dln（u 2 +a 2 ）+C ，于是 积分得 v＝C 0 u u 2 2 2 2 2 du u a u a + + C  － +C 2 取不同的常数得不同的测地线，其中 C 取零时，得直母线. P170 11 利用刘维尔公式证明：（1）平面上的测地线是直线；（2）圆柱面上的测地线 是圆柱螺线. 证明（1）法 1 对于平面Ⅰ=du 2 +dv 2 E＝G＝1 E v ＝G u ＝0 由测地线方程，得 dv tan du d 0 ds        ＝ ＝ 所以  ＝C 1，v＝（tan  ）u+C 2 即测地线是直线. 法 2 平面上任一点的任意方向作直线，则一定是过该点测地线，由测地线的唯一 性，知道平面上的测地线一定是直线. 法 3 r＝r（u 1 （s），u 2 （s））为平面的测地线，n 为平面的单位 法向量 则 r ∥n 而 r . n ＝0，n 是常向量 （ r n ） ＝0，即 r n＝0 所以 r ＝0 ，进而 k＝ | r |＝0 （2）对于圆柱面 r＝｛Rcosu，Rsinu，v｝ E＝R 2 ，F＝0，G＝1