(3)当k=4时,A→0114 0000 r(A)=r(A)=2<3,基础解系中含有3-2=1个解向量。与原方程组同解的方程组为 取x3=0,得特解*=x2|=4.导出方程组为: x2+=0·取x2=1,得基础解系为η=x/=-1所以,方程组的通解为 x 4+k-1 例9设51,…,n是Ax=0的一个基础解系,n*是Ax=(≠0)的一个特解,试证 n*,51,…5n线性无关 证明(反证)设η*,引1,…,m线性相关,则存在不全为0的数k1,…,knr,kn=r1,使 6 则k1(1)+…+kn(An)+kn1(4*)=0,因为A21=0,,An*=阝≠0,所以 knrB=0,kn-n1=0,于是,k1+…+kn5n=6。又51,…,5m为Ax=6的一 个基础解系(线性无关),所以k1=…=kr=0,矛盾 例10设四元方程组Ax=β的系数矩阵A的秩等于3,已知x1,x2,x3是它的三个解向量, 0 且x1 5/2+x 求该方程组Ax=β的全部解 解导出组为Ax=0。r(4)=3<4,所以Ax=θ的基础解系中含有1个解向量,而 n=x2+x2-2x1=(-39-210 是Ax=日的解。故导出组的全部解为x=kn。取Ax=β的特解ξ=x1,故Ax=B的75 (3) 当 k = 4 时，           → 0 0 0 0 0 1 1 4 1 0 3 0 A r(A) = r(A) = 2  3 ，基础解系中含有 3− 2 =1 个解向量。与原方程组同解的方程组为：    = − = − 2 3 1 3 4 3 x x x x , 取 x3 = 0 ，得特解           =            = 0 4 0 * 3 2 1 x x x . 导出方程组为：    + = + = 0 3 0 2 3 1 3 x x x x , 取 x3 =1 ，得基础解系为           − − =            = 1 1 3 * 3 2 1 x x x .所以，方程组的通解为 x           − − +           =  +  =           = 1 1 3 0 4 0 * 3 2 1 k k x x x 。 例 9 设 n−r  , ,  1  是 A x =  的一个基础解系，  是 A x = ( ) 的一个特解，试证 , n−r  , ,  1  线性无关。 证明（反证）设 , n−r  , ,  1  线性相关，则存在不全为 0 的数 1 1 , , , n−r n−r+ k  k k ，使 k11 ++ kn−rn−r + kn−r+1 =  ， 则 k1 (A1 ) ++ kn−r (An−r ) + kn−r+1 (A) =  ，因为 Ai = ,， A =    ，所以 kn−r+1 = ，kn−r+1 = 0 ，于是， k11 ++ kn−rn−r =  。又  n−r , , 1  为 A x =  的一 个基础解系(线性无关)，所以 k1 == kn−r = 0 ，矛盾。 例 10 设四元方程组 A x =  的系数矩阵 A 的秩等于 3，已知 1 2 3 x , x , x 是它的三个解向量， 且               + =               − = 8 8 9 1 , 1 5 0 2 x1 x2 x3 ，求该方程组 Ax =  的全部解。 解 导出组为 A x = 。 r(A) = 3  4, 所以 A x =  的基础解系中含有 1 个解向量，而 ( ) T  = x2 + x3 − 2x1 = −3 9 − 2 10 是 A x =  的解。故导出组的全部解为 x = k 。取 A x =  的特解 = x1   ，故 A x =  的