第八节函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程： 一、函数的连续性 对y=f),当自变量从x。变到x,称△x=x-x叫自变量x的增量，而 Ay=+x)-f)叫函数y的增量. 定义设函数y=fx)在点x的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量△x=x-x。 趋于零时，对应的函数的增量△y=f+x)-fx)也趋于零，那么就称函数y=fx)在 点x连续 它的另一等价定义是：设函数y=fx)在点x。的某一邻域内有定义，如果函数f八x)当 x→x时的极限存在，且等于它在点处的函数值fk),即mfx)=fx),那么就 称函数y=f)在点x。连续. 下面给出左连续及右连续的概念。 如果mf(x)=fx。-0)存在且等于fx),即fk。-0)=fx),就说函数fx) 在点左连线.如果，职)=f,+0)存在且等于心小，即化，+0)=f) 就说函数fx)在点x,右连续。 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 二、函数的间断点 设函数fx)在点x。的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情 形之一： 1.在x=x。没有定义： 2.虽在x=x有定义，但m)不存在： 第八节 函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程： 一、函数的连续性 对 y = f (x) ，当自变量从 0 x 变 到 x ， 称 0 x = x − x 叫自变量 x 的 增量，而 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 叫函数 y 的增量． 定义 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量 0 x = x − x 趋于零时，对应的函数的增量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 也趋于零，那么就称函数 y = f (x) 在 点 0 x 连续． 它的另一等价定义是：设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某一邻域内有定义，如果函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限存在，且等于它在点 0 x 处的函数值 ( ) 0 f x ，即 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = → ，那么就 称函数 y = f (x) 在点 0 x 连续． 下面给出左连续及右连续的概念． 如果 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = − → − f x f x x x 存在且等于 ( ) 0 f x ，即 ( ) ( ) 0 0 0 f x − = f x ，就说函数 f (x) 在点 0 x 左连续．如果 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = + → + f x f x x x 存在且等于 ( ) 0 f x ，即 ( ) ( ) 0 0 0 f x + = f x ， 就说函数 f (x) 在点 0 x 右连续． 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点 设函数 f (x) 在点 0 x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数 f (x) 有下列三种情 形之一： 1．在 0 x = x 没有定义； 2．虽在 0 x = x 有定义，但 f (x) x x0 lim → 不存在；