第十一章微分方程 分析导数的实质即为函数的变化率，因此，0)的变化率为血，据此问愿不难求 解. 解由题意可知原问题等价于求解如下微分方程的初值问题： 倍=aN-, x(0)=x 分离变量得 必 任=如+G 可得二C,其中C=c,由0=可得C=N产，所以 N-xN-x xN-元+e 例31(01研)设有一高度为)(1为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 方程 9=0-24+ h(t) (设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系 数0.9)，问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？ 分析这是一道数学综合应用题，需正确理解题意.要求能用三重积分求出体积V， 用二重积分求出侧面积S,并根据题意建立数学模型，解出)，最后求出)=0时的 t值。 解记r为雪堆体积，S为雪堆侧面积，D.=x,y川x+少≤)-0}，则 r-f0-o0归=ro. 404第十一章 微分方程 404 分析 导数的实质即为函数的变化率，因此， xt() 的变化率为 dx dt ，据此问题不难求 解． 解 由题意可知原问题等价于求解如下微分方程的初值问题： 0 ( ) (0) dx kx N x dt x x   = −    = ， 分离变量得 1 ( ) dx k dt C x N x = + −   ， 即 1 1 1 1 dx kt C N x N x     + = +   −  ， 可得 x kNt Ce N x = − ，其中 C eNC1 = ，由 0 x x (0) = 可得 0 0 x C N x = − ，所以 0 0 kNt x x e N x N x = − − ， 即 0 0 0 kNt kNt Nx e x N x x e = − + ． 例 31（01 研） 设有一高度为 ht() （ t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足 方程 2 2 2( ) ( ) ( ) x y z h t h t + = − （设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系 数 0.9 ），问高度为 130 （厘米）的雪堆全部融化需多少小时？ 分析 这是一道数学综合应用题，需正确理解题意．要求能用三重积分求出体积 V ， 用二重积分求出侧面积 S ，并根据题意建立数学模型，解出 ht() ，最后求出 h t( ) 0 = 时的 t 值。 解 记 V 为雪堆体积， S 为雪堆侧面积， 2 2 2 1 {( , ) [ ( ) ( ) ]} 2 D x y x y h t h t z z = +  − ，则 ( ) ( ) 2 3 0 0 1 [ ( ) ( ) ] ( ) 2 4 z h t h t D V dz dxdy h t h t z dz h t  = = − =    