第十一章微分方程 使车间空气中C0,的含量不超过0.06%？（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均 匀后，以相同的流量排出.) 解设每分钟应输入Mm新鲜空气，同时设在1时刻，车间内含CO,的量为x), 考虑在1到1+△1的时段内CO,的变化，根据题意则有 △x=CO,的输入-CO,的排出 =MNx004%-MN340 华 M 令△山→0，则可得如下初值问题： 倍0a16- xk0=6.48. 分离变量求得其通解为x-216=Ce品.再由初始条件得C=432,故 0=2.16+432e六， 由问题的实际意义可知x)是减函数，故当1=30时， x=0.06%×30×30×6=3.24, 于是可得M≈250m2. 注用微元法或称区间法建立微分方程，要从变量在一个微小区间[x,x+△x]上的变 化量入手，建立起变量在区间上的变化量与区间的长度之间的关系，即： M(x+Ax)-(x)=Ay=f(x.y)Ar, 令△加→0，道过取极限并利用导数的定义即可得微分方程安=功 例30(97研)在某一个人群中推广新技术是通过其中已掌握技术的人进行的.设 该人群的总人数为N,在1=0时刻己掌握新技术的人数为。，在任意时刻1己掌握新技 术的人数为x()(将x)视为连续可微变量)，其变化率与己掌握新技术人数和未掌握新 技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x). 403 第十一章 微分方程 403 使车间空气中 CO2 的含量不超过 0.06% ？（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均 匀后，以相同的流量排出．） 解 设每分钟应输入 3 Mm 新鲜空气，同时设在 t 时刻，车间内含 CO2 的量为 xt() ， 考虑在 t 到 t t + 的时段内 CO2 的变化，根据题意则有 2  =x CO 的输入 −CO2 的排出 = 0.04% 5400 x M t M t   −  ， 故 0.04 2.16 ( ) 100 54 5400 x M x M x t    = − = −      ． 令  →t 0, 则可得如下初值问题： 0 (2.16 ), 5400 | 6.48. t dx M x dt x =   = −    = 分离变量求得其通解为 5400 2.16 M t x Ce − − = ．再由初始条件得 C = 4.32 ，故 5400 ( ) 2.16 4.32 M t x t e − = + ， 由问题的实际意义可知 xt() 是减函数，故当 t = 30 时 ， x =    = 0.06% 30 30 6 3.24 ， 于是可得 3 M m  250 ． 注 用微元法或称区间法建立微分方程，要从变量在一个微小区间 x x x , +  上的变 化量入手，建立起变量在区间上的变化量与区间的长度之间的关系，即： y x x y x y f x y x ( ) ( ) ( , ) +  − =    ， 令  →x 0 ，通过取极限并利用导数的定义即可得微分方程 ( , ) dy f x y dx = ． 例 30（97 研） 在某一个人群中推广新技术是通过其中已掌握技术的人进行的．设 该人群的总人数为 N ，在 t = 0 时刻已掌握新技术的人数为 0 x ，在任意时刻 t 已掌握新技 术的人数为 xt() （将 xt() 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新 技术人数之积成正比，比例常数 k  0 ，求 xt()