第十一章微分方程 产恤wG 由)=1得C2=1,所以 ln0y+Vy-1)=x-1), 即 y+y 1=e), teun, y-F2-i=1 于是上面两式相加即得所求曲线方程为 y). 注对于几何问题，一般是求曲线方程，依据题意，由几何中的定理、公式建立微 分方程并给出可能的初始条件求解。下面这些结果经常会用： 1.y表示曲线y=x)在点(x,)处切线的斜率： 2亭我标线在点低》是给法线时率 3.f0)d表示由曲线y=f)（f(x)>0)人直线x=x、x=a及x轴所围成的图 形的面积： 4.曲线y=x)上横坐标为x的点的曲率为 V0+y2T 5.弧长的微分 例29已知某车间的容积为30m×30m×6m,其中的空气含0.12%的C0,(以容积 计算)，现以含C0,为0.04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后 402第十一章 微分方程 402 2 1 dy dx y =  − ， 2 2 ln( 1) y y x C + − =  + ． 由 y(1) 1 = 得 2 C = 1， 所以 2 ln( 1) ( 1) y y x + − =  − ， 即 2 ( 1) 1 x y y e  − + − = ， 2 ( 1) 2 1 1 1 x y y e y y − − − = = + − ， 于是上面两式相加即得所求曲线方程为 1 1 1 ( ) 2 x x y e e − − + = + ． 注 对于几何问题，一般是求曲线方程，依据题意，由几何中的定理、公式建立微 分方程并给出可能的初始条件求解．下面这些结果经常会用： 1． y  表示曲线 y y x = ( ) 在点 ( , ) x y 处切线的斜率； 2． dx dy − 表示曲线 y y x = ( ) 在点 ( , ) x y 处的法线斜率； 3． ( ) x a f t dt  表示由曲线 y f x = ( ) （ f x( ) 0  ）、直线 x x = 、x a = 及 x 轴所围成的图 形的面积； 4．曲线 y y x = ( ) 上横坐标为 x 的点的曲率为 2 3 | | (1 ) y K y  = +  ； 5．弧长的微分 2 2 ds dx dy = + ( ) ( ) 2 2 1 ( ) 1 ( ) dy dx dx dy dx dy = + = + ． 例 29 已知某车间的容积为 30 30 6 m m m   ，其中的空气含 0.12% 的 CO2 （以容积 计算），现以含 CO2 为 0.04% 的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在 30 分钟后