第十七章柱函数 第十七章柱函数 将 Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时,曾经得到常微分方程 l d dr(r) r dr ]+12--m 如果k2-≠0,作变换x=Vk2-Ar,y(x)=R(r),则方程变为(u阶) Bessel方程 d dy (r) y(x)=0 r dr 其中 Bessel方程有两个奇点:x=0和x=∞;x=0是正则奇点,x=∞是非正则 奇点 在正则奇点x=0处,指标p=土v 第六章中已经求出了 Bessel方程在x=0点的正则解. 下面扼要地罗列一下已经得到的结果 当v≠整数时, Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 如果v=整数n,则Jn(x)和J-n(x)线性相关 J-n(x)=(-)Jn(x), 这时, Bessel方程的第一解仍是Jn(x),第二解则可取为 Nn(a)=-Jn(a)In (n-k-1)!/x)2k-n 中(m+k+1)+(k+1)(2) 2k+n k!(k+n)! 并且约定,当n=0时,需去掉表达式中第二项的有限和第十七章 柱 函 数 第 1 页 第十七章 柱 函 数 将Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时，曾经得到常微分方程 1 r d dr · r dR(r) dr ¸ + h k 2 − λ − µ r 2 i R(r) = 0. 如果k 2 − λ 6= 0，作变换x = √ k 2 − λr, y(x) = R(r)，则方程变为(ν阶)Bessel方程 1 x d dx · x dy(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ y(x) = 0, 其中µ = ν 2． Bessel方程有两个奇点：x = 0和x = ∞；x = 0是正则奇点，x = ∞ 是非正则 奇点． 在正则奇点x = 0处，指标ρ = ±ν． 第六章中已经求出了Bessel方程在x = 0点的正则解． 下面扼要地罗列一下已经得到的结果． 当ν 6= 整数时，Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 J±ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k ± ν + 1) ³ x 2 ´2k±ν . 如果ν = 整数 n，则Jn(x)和J−n(x)线性相关， J−n(x) = (−) n Jn(x), 这时，Bessel方程的第一解仍是Jn(x)，第二解则可取为 Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! ³ x 2 ´2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! £ ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1)¤ ³ x 2 ´2k+n , 并且约定，当n = 0时，需去掉表达式中第二项的有限和．