340 高等数学重点难点100讲 sin(y-x)dy+ de sin(y-x)dy 2dx +I(-cosr t 1)dx=3 而D2:x+丌≤y≤27,0≤x≤丌,则 sin(y-x) sin (y -)dy 1)dx 故 sin(y-r)ldrdy= sin(y-x)dxdy-sin(y-x)dxdy=4. 1≤x≤1 例6计算I=|y-x21d,其中D 0≤y≤1 解如图81-10,D=D1UD2,在抛物线 上, v=r y-x2l|=0;在D1上,y-x2≥0;在D2上,y-x2≤0,故 x2)do )do D .d(y-)+」d,(x-yy= 图81-10 二、利用极坐标计算二重积分 般而言极坐标系中二重积分的积分次序是“先r后8” f(x,y)do= de f(coso, rsin)rdr 积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定 (1)当极点0在域D的边界曲线之外时,=df(rcos6,rsin6)dr. r,(6) () (2)当极点0在域D的边界线上时,=d0,f(rcos,i)rdr r=r(0) a (b) (c) 图81-11 (3)当极点0在积分域D的边界线之内时,分别化为下述二次积分: r(o I=f(a,y)do fGrcos0, sino)rd f(rose, rsing)rd