第81讲重积分的计算法(1) 339 21-y= Inzdx=[xlnx]i-[x]= 2ln2-1. 例4计算(x-1) dady,其中D是由曲线y=(x-1)2,直线y=x-1及y=1 围成的闭区域 解积分区域D的草图如图81-8所示,由于D的下边界由 y=(x-1)2及y=x-1两部分构成,若选先对y后对x的积 (2,1) 分次序,D必须分成两块,计算量大若选取先对x后对y的积分 x=y+1 次序则不分块此时,D应为Y一型区域,按二重积分化为二次积 分的方法步骤D可表示为:1-√y≤x≤1+y,0≤y≤1 故 1+y (x-1)yard -1)ydx 图81-8 (x-1)2 (4-y)dy 1 (yu-y2)dy 24 注意从该例可以看到:积分次序的选择是颇有讲究的,“先x后y”还是“先y后x”不 仅仅由积分域D的形状来定,还要考虑到被积函数的特点,一般原则是应使里层积分较易 积出来. 例5计算下列被积函数中含有绝对值符号的二重积分 lsin(y-x)|dzdy,其中,D是由y=x,y=2π及y轴围成闭区域. 解对被积函数中含有绝对值符号的二重积分(类似于定积分处理这类问题的方法) 一般将被积函数分块表示,以便去掉绝对值符号,再利用积分对区域的可加性,分块进行计 算,然后相加本题当y-x=丌时,sin(y-x)=0;y-x>r时,sin(y-x)<0,0≤y x≤r,in(y-x)≥0故用直线y-x=r,将D分成D,D2,如图81-9所示这时sin(y x)可分块表示为: sin(y -x), Isin(y-x)I= (x,y)∈D1; sin (y )∈D2 则|sin(y-x)|drd ‖lsin(y-x)dxd 两个子区域上的积分分别计算如下: 2丌 图81-9 无论选D为Y一型还是x一型区域都要分成两块,现选D1 为X一型,且分成: 1:x≤y≤x+π,0≤x≤r;D1:x≤y≤2x,r≤x≤2x; 则 sin(y-x)dsdy=( -x)dxdy+sin(y-x)dzdy