338 高等数学重点难点100讲 1]上的子区间[-1,0]内由任一点x所作的平行于y轴的直线 与在子区间[0,1内任一点x所作的平行于y轴的直线,由下而 上穿过D内,穿出点的纵坐标不同,分别为y=x+1,与 x+y=1 x,因而第一次积分的上限随着x在不同的子区间而不同,故 D,D2 应把D分成两块:D1:0≤y≤x+1,-1≤x≤0;D2:0≤y≤ 1-x;0≤x≤1.再由二重积分对积分区域的可加性,有 f(x,y)dzdy=‖f(x,y)dzdy+‖f(x,y)dzdy 图816 d f(r, y)dy+d ,y)dy 若化为先对x后对y的积分次序则必须选D为Y一型区域此时,变量y的变化区间 [0,1](一般是把D投影到y轴上得到或直接由草图看出),其第一次积分的积分限按下述 方法确定:过[0,1]内任一点y作平行于x轴的直线自左到右穿过D内,穿入点(即该直线与 D的左边界的交点)的横坐标x=y-1作为下限,穿出点(即该直线与D的右边界的交 点)的横坐标x=1-y作为上限;第二次积分的下、上限即y的变化区间[0,1]的左右端点 这时,D由不等式表示为:y-1≤x≤1-y,0≤y≤1.故 f(r, y)dxdy=dy f(r, y) 显然,本题选取先对x后对y的积分次序,可以避免将D分块由此可见,在直角坐标系 中将二重积分f(x,y)dzdy化成二次积分的方法与步骤是:①画出积分区域D的草图;② 选择积分次序 注意计算二重积分的关键是:正确地确定里外层定积分的上下限,二次积分(不论何 种次序)共同的特征是:除矩形区域外,第一次积分的上、下限至少有一个应是第二次积分 的积分变量的函数,第二次积分的上下限总是常数;若D的左右边界或上下边界至少有 个是由两个方程(或多个方程)表示的,则应将D分成两块(或几块)从而把二重积分化成 两个(或几个)二次积分的和 例3计算二重积分 4=-nd,其中,D是由y=x,y=1,x=2围成的闭区域 解(1)积分区域D的草图如图81-7所示.若选取先对x 后对y的积分次序D必须是Y一型区域,其边界曲线的交点(1,4 (2,4) 1),(2,1),(2,4)将D投影在y轴上,则y的变化区间[1,4]任 x=y 指定y∈(1,4),过y作x轴的平行线该直线从A穿入,从B穿 出D里层积分的积分变量x从√变到2故里层积分为 (x=2 2,1) Inr dz,外层积分即对y的积分区间为[1,4],从而 d d 图81-7 但第一次积分难以求出故应考虑用另一个积分次序,即先对y后对x积分的次序.这 时,D应是x一型区域,且x的变化区间为[1,2],任指定x∈(1,2),过该x作y轴的平行线 穿过D它从y=1穿人,从y=x2穿出D,由此得y的变化区间为[1,x2]则