第81讲重积分的计算法(1) 337 若穿过闭区域D的内部,平行于y轴或平行于x轴的直线与D的边界曲线的交点多于 两点则D既不是X一型也不是￥一型区域。要计算该区域D上的二重积分,只能把D分 成几个部分区域,每个部分是X一型或Y一型区域.在其中的X一型区域上用公式(81.1) 化为二次积分,在其中的Y一型区域上应用公式(81.2)化为二次积分,各部分上的二重积 分求出后,根据二重积分对区域具有可加性的性质,它们的和就是所求的函数f(x,y)在D 上的二重积分 4.利用直角坐标计算二量积分举例 例1在直角坐标系中,将二重积分f(x,y)ddy化成两次积分,其中D为闭区域:x2 +y2≤1,y≥0,有人将它化为下述的两次积分,即 f(x,y)dxdy=dx f(,y)dy, 试问这种作法是否正确?说明理由 解上述作法不正确.根据此积分区域D是上半圆域的特 点,若先对y积分,积分上限应是x的函数,而不是常数,二次积 分d(x,9)y的积分区域是矩形域-1≤z≤1,0≤y≤ 1,这与所给的积分域不符,积分区域D如图81-5,是X一型区 域,按先对y后对x的积分次序,把D投影在x轴上得到变量x 的变化区间为[-1,1].先对y积分时,其积分限应按下述方法 确定:由区间[-1,1]任一点x作平行于y轴的直线自下而上穿 过D,它与D的下边界x轴的交点(即穿入点)的纵坐标y=0作 图81-5 为积分下限,它与D的上边界的交点(即穿出点)的纵坐标y=√1-x2作为积分上限,即 得里层积分为f(x,y)dy;对x积分时,积分下限与上限分别是变量x的变化区间匚 1,1]的左端点x=-1与右端点x=1.因此,正确的作法是 f(r, y)dxdy dx f(r, y)dy D 显然,D也是Y一型区域,也可以选取先对x后对y的积分次序把区域D向y轴投影 得变量y的变化区间[0,1],在[0,1内任一点y作平行x轴的直线自左到右穿过D内,穿入 点的横坐标为x=-√1-y2,穿出点的横坐标为x=√1-y2,依次是第一次积分的下限 与上限因而D可表示成:-√1-y2≤x≤√1-y2,0≤y≤1.故此二重积分又可化为 下述二次积分: f(r,y)dxdy=d f(x, y)d D 例2将二重积分f(x,y)ddy化为二次积分(两种积分次序都要求)其中D为闭区 域,由x+y=1,y 1及 围成 解画出积分区域D的草图如图81-6所示 若化为先对y后对x的积分次序,则必须选取D为X一型区域但由草图可知D的上边 界9(x)由y=x+1与y=1-x两个不同的函数组成,因此在变量x的变化区间[-1