三、利用线性方程组讨论矩阵的秩 例4设A,B为n阶矩阵,证明:若AB=0,则 R(A)+R(B)≤n 证设R(A=r,R(B)=s,由AB=0知,B的每 列向量都是Ax=0的解向量 当rn时,Ax=0只有零解,故B=0, 而R(A=n,R(B)=0,结论成立。 当r<n时,Ax=0的基础解系含有n-r个解,从而 B的列向量组的秩≤n-r, 即R(B)≤n—r,故R(A)+R(B)n。三、利用线性方程组讨论矩阵的秩 例4 设A，B为n阶矩阵，证明：若AB=0，则 R(A)+R(B)≤n。 证 设R(A)=r，R(B)=s，由AB=0知，B的每一 列向量都是Ax=0的解向量。 当r=n时，Ax=0只有零解，故B=0， 而R(A)=n，R(B)=0，结论成立。 当r＜n时，Ax=0的基础解系含有n-r个解，从而 B的列向量组的秩≤n－r， 即R(B)≤n－r，故R(A)+R(B)≤n