线性微分方程 这种微分方程的形式为:+P=,其中,pq与y无关,但可以与x有关它对y与y而 言是一次的,故被称之为一阶线性微分方程 当q=0时称为齐次线性微分方程;当q0时称为非齐次线性微分方程 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为:y+P=0 此方程是可分离变量的微分方程,分离变量后,得:y ,这就可以由我们前面所学 的方法进行求解 例题:求x 的一般解。 解答:由此方程可得y dx .In(cv)=In(x 因此该方程的一般解为:=a(x+1)1 非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为,y+P 这种方程的解法为:先求出其对应的齐次线性微分方程y+py=0的一般解-,然后把 c看作x的函数,再代到非齐次线性微分方程中来决定c,使它能满足非齐次微分方程 =c中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项:ce),所以=c7 c作为x的函数代入微分方程就得到P+pP=c()+ce+pce=cP=q 所以只要C=9 94女就可使非齐次线性微分方程得到满足,即y=7Jax为所 求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为 Lagrange常数变易法 y 例题:求解 +1 解答:相应齐次线性微分方程 x+1 的一般解为:=c(x+1) c(x+1)+]+c(x+1-]+( 把c看成x的函数代入得 x+/(x+1-1=c(r+D-=x 因此:c=x(x+1) x-+一x-十 1 故 就是非齐次线性微分方程的一般解。线性微分方程 这种微分方程的形式为： ，其中，p,q 与 y,y'无关，但可以与 x 有关.它对 y 与 y'而 言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。 当 q=0 时称为齐次线性微分方程；当 q≠0 时称为非齐次线性微分方程。 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为： 此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得： ，这就可以由我们前面所学 的方法进行求解。 例题：求 的一般解。 解答：由此方程可得 ，故 因此该方程的一般解为： 非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为： 这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程 的一般解 ，然后把 c 看作 x 的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定 c，使它能满足非齐次微分方程。 中把 c 作为 x 的函数求导数比 c 作为常数求导数要多处一项： ，所以 中 c 作为 x 的函数代入微分方程就得到 . 所以只要 ，即 就可使非齐次线性微分方程得到满足，即 为所 求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为 Lagrange 常数变易法。 例题：求解 解答：相应齐次线性微分方程 的一般解为： 把 c 看成 x 的函数代入得： 因此：c'=x(x+1) ∴ 故： 就是非齐次线性微分方程的一般解