负倾率是有明确的物理意义和工程价值的 在对任何信号进行傅立叶分析时，得出的频谱为复数，且其频率范围将从∞~©。对于负频 率以及该范围的频端 应当如何理解它有没有物理意义是 个还缺乏讨论，因而没有统一看 法的问题，本文将对此进行词论。 1。颊率的概念就是从机械旋转运动来的，此时a=d0d1定义为角速度，对于周期运动，角 速度也就是角频率。通常0以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率 就是顺时针旋转角速度。这就是它的物理意义，正、负号不影响它的物理意义。 2。电的单位向量（电压或电流）围绕原点的转动，可以用u=i0=ei(dt+00)表示，这是在 电路中都清楚的。0的正负所代表的物理意义从未有什么争议，它的导数o=d8t的物理 意义不言自明，取正取负都不影响定义，为什么取负就会失去物理意义了呢？ 3。在信号与系统课程中，为了简化问题，便于初学者掌握概念，把研究范围限定于实信 ),也就是在电压旋转向量u=ejat=cos(at叶jsin(“)中，只研究它在实平面或虚平面上的 个投影，研究复信号ejut的特性与只研究实信号si(at)或cos(ut)是两个不同的层次。 前者是反映信号在空间的全面特性，后者只研究了信号在一个平面(xt或yt组成的平面) 上投影的特性。这就必然要丢掉一些重要的信总，至少会丢掉旋转信总。很显然，在x或 1的平面内，是不可能看出旋转的 ,不管是正转还是反转 既看不到0 更看不到，只 有在xy平面上才能看到这两个参数。一些人老是看不到负频率，原因之 一就在于一直只接 触实信号，而没有更广阔的复信号的视野。 4。同样，用ct或st)或cs(wt)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面，后 果按指数。为核来求， 我们将得到双边频谱。以 ,相角为零的频率特 性。它的几何关系可以用右图表示。两个长度为0.5的向量，分别以士Q等速转动，它们 的合成向量就是沿实轴方向的余弦向量。而沿虚轴方向的信号为零。可见必须有负频率的向 量存在，才可能构成纯粹的实信号。所以跃拉公式是有其明确的几何意义（即物理意义） 的。在我写的[]中给出了动画，并给出了正、负数字频率的几何解释。 5。了解了正余弦信号中包括正负双边频谱，不仅有物理意义，而且具有重要的工程价值 例如，可以根据这个概念来构成旋转电磁场，设计电动机。上面给出了单位余弦波在正负两 个频率上有幅度相等，相角相均为零的两根谐线：同样，单位正弦波在同样正负两个频率上 也有幅度相等的谱线，不过它们的相角分别为±a2。用立体图表示如图3()。 如果把正弦和余弦两个信号的正频率频谱设计得相等相反，则把它们合成以后，就只剩下负 频率的频谱，它就构成一个单纯负向旋转的电信号。为此可以把正弦信号在空间上转动π2， 使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向，这样两个信号的合成（见图3(b) 就成为一个只有负频率谱线的信号，当然它在时域必然是复数信号，怎么可能是没有物理商 义的东西呢？常用的二相异步电机就是这样负向转动的。而要使该电机正转，则要使两者的 负频率频谱互相抵消，只保留其正频率频谱 6。实信号的正负频谱是奇对称的。如果它的单边频带宽W,考虑到负频率频谱，实际占的 频谱区域就是士W,所以通信中要传输这样的信号就需要占用2W的频带宽度。为了节省频负频率是有明确的物理意义和工程价值的 在对任何信号进行傅立叶分析时，得出的频谱为复数，且其频率范围将从-∞~∞。对于负频 率以及该范围的频谱，应当如何理解它有没有物理意义是一个还缺乏讨论，因而没有统一看 法的问题，本文将对此进行讨论。 1。频率的概念就是从机械旋转运动来的，此时ω=dθdt 定义为角速度，对于周期运动，角 速度也就是角频率。通常θ以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率 就是顺时针旋转角速度。这就是它的物理意义，正、负号不影响它的物理意义。 2。电的单位向量（电压或电流）围绕原点的转动，可以用 u=ejθ=ej(ωt+θ0)表示，这是在 电路中都清楚的。θ的正负所代表的物理意义从未有什么争议，它的导数ω=dθdt 的物理 意义不言自明，取正取负都不影响定义，为什么取负就会失去物理意义了呢？ 3。在信号与系统课程中，为了简化问题，便于初学者掌握概念，把研究范围限定于实信号 f(t)，也就是在电压旋转向量 u =ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)中，只研究它在实平面或虚平面上的 一个投影，研究复信号 ejωt 的特性与只研究实信号 sin(ωt)或 cos(ωt) 是两个不同的层次。 前者是反映信号在空间的全面特性，后者只研究了信号在一个平面（x-t 或 y-t 组成的平面） 上投影的特性。这就必然要丢掉一些重要的信息，至少会丢掉旋转信息。很显然，在 x-t 或 y-t 的平面内，是不可能看出旋转的，不管是正转还是反转。既看不到θ，更看不到ω，只 有在 x-y 平面上才能看到这两个参数。一些人老是看不到负频率，原因之一就在于一直只接 触实信号，而没有更广阔的复信号的视野。 4。同样，用 e jωt 或 sin(ωt)或 cos(ωt)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面，后 者片面。对实信号做傅立叶变换时，如果按指数 e jω t 为核来求，我们将得到双边频谱。以 角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为 0.5，相角为零的频率特 性。它的几何关系可以用右图表示。两个长度为 0。5 的向量，分别以±Ω等速转动，它们 的合成向量就是沿实轴方向的余弦向量。而沿虚轴方向的信号为零。可见必须有负频率的向 量存在，才可能构成纯粹的实信号。所以欧拉公式 是有其明确的几何意义（即物理意义） 的。在我写的[1]中给出了动画，并给出了正、负数字频率的几何解释。 5。了解了正余弦信号中包括正负双边频谱，不仅有物理意义，而且具有重要的工程价值。 例如，可以根据这个概念来构成旋转电磁场，设计电动机。上面给出了单位余弦波在正负两 个频率上有幅度相等，相角相均为零的两根谱线；同样，单位正弦波在同样正负两个频率上 也有幅度相等的谱线，不过它们的相角分别为±π2。用立体图表示如图 3(a)。 如果把正弦和余弦两个信号的正频率频谱设计得相等相反，则把它们合成以后，就只剩下负 频率的频谱，它就构成一个单纯负向旋转的电信号。为此可以把正弦信号在空间上转动π2， 使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向，这样两个信号的合成（见图 3 (b)） 就成为一个只有负频率谱线的信号，当然它在时域必然是复数信号，怎么可能是没有物理意 义的东西呢？常用的二相异步电机就是这样负向转动的。而要使该电机正转，则要使两者的 负频率频谱互相抵消，只保留其正频率频谱。 6。实信号的正负频谱是奇对称的。如果它的单边频带宽 W，考虑到负频率频谱，实际占的 频谱区域就是±W，所以通信中要传输这样的信号就需要占用 2W 的频带宽度。为了节省频