取x,=1 (2)f(x)=x3,R, 取x,=n+1,x",=Vn (3)f(r)=sinr,R 取x,=2nx+,x"√2m (4)f(x)=lnx,(0,+∞),取x,=n”2n 定理4-9( Cantor定理、一致连续性定理):若∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则∫(x)在[a,b]上一 致连续 注1°证略,第七章中证, 注2°[a,6]一(a,b)或无限区间不行(见例11) 推论若∫∈C(a,6)((a,b)为有限开区间)且∫(a+0),f(b-0)均(有限)存在,则f(x)在( 6)上一致连续,反之亦真 注:推论中的有限开区间(ab)换成无穷区间“→”仍成立(P82x16,用挖法)“←”不成立,如f(x) x在(-∞,+∞)一致连续,但limf(x) 例12讨论f(x)在指定区间上的一致连续性(从中见用推论讨论一致连续性非常方便) (1)/(x)=(0,1) =+∞,∴f(x)在(0,1)上不一致连续 (2)f(x)=5x(0,1),∵f(x)在(0,1)上连续,且f(0+0)=1,f(1-0)=sinl均有限彐, ∴∫(x)在(0,1)上一致连续 例13设区间l1的右端点c∈,区间l2的左端点也为c∈l2(l1,l2可以为有限或无限区间)若 ∫在l1,l2上均一致连续,则f在l1∪l2AI上也一致连续 验证一致连性方法 ①定义;② Cantor定理;③ Cantor定理的推论及其注 验证不一致连续性 ①定义;②命题4-3(仿例11);③ Cantor定理的推论的否命题当(ab)为有限时也成立 §3初等函数的连续性 §1、§2中已证y=C,三角函数,反三角函数在其定义域内连续 在本节中我们先证y=a在(一∞,+∞)上连续,再由反函数的连续性定理知y=logx在(0 ∞)上连续 对于幂函数:y=x ①当a∈Q时上节例8已证其在定义区间(也是定义域)上是连续的 ②当a∈RQ时,我们在第一章中已规定其定义域为(0,+∞),于是y=x alnx复合而成,∴y=x也在定义域内连续,因此有 定理4-12:基本初等函数在其定义域内都是连续的. 指数函数y=a在(-∞,+∞)内连续 回顾高一数学介绍的有理指数幂(>0,a≠1)的定义和性质:若r∈Q,定义