F+41<mm1+x1-=1+ .当x越来越接近0时,这个8越来越小,且x→0+时0<8<Er→0,∴找不到一个适合于(0,1) 一切x的正数δ,8=8(x,e) ②但如果考虑f(x)=在(e,1),(c>0),对vx∈(c,1),Ve>0,(e<1)要|-<e|x x-x0|< 对Ve>0,找到了一个只依赖于e的通用的a>0,只要x,x∈(c,1),且|x-xo<8就有f(x) f(x)<. 这种性质是比∫在(c,1)上连续更强的性质称作∫在(c,1)上一致连续,一般地, 定义2-2设∫为定义在区间I上的函数,若对e>0,38=8(e)>0,使对Ⅴx,x"∈I只 要|x-x"|<8就有|f(x)-f(x")<6则称∫(x)在I上一致连续 (即e>0,3>0,当自变量在I中的变化不超过b时,函数值的变化就不超过e) 注1°f(x)在l上不一致连续蝴3E>0,对V8>0都3x',x"∈I,尽管|r-x"<8但|f(x) f(x)|≥E 例9(1)证明f(x)=ax+b(a≠0)在(一∞ )内一致连续 (2)证f(x)=x3在[ab]上一致连续 注2°用定义证明函数f(x)在I上一致连续的方法与用定义验证极限类似,即从|/f(x)一 f(x")<E出发←|x-x"|<?,?与,无关 注3°显然∫在I上一致连续→∫在I上连续,反之不真.例如 例10f(x)=sin在(0,1)内连续但在(0,1)内不一致连续 题4-3设∫(x)在上有定义则∫在I上一致连续白对I中的任意两个数列{x}和{x”n}, 当lim(x,-x",)=0就有lim[f(x,)-f(x",)]=0(仿海因归结原则的证明方法 若∫在I ∈I,叫ε>0,38>0,对 yx,x"∈I只要|x-x"<b时,f(x)-f(x")<.而lim(x',-x)=0,∴对上述δ>0 3N,当n>N时, <而x4x”均∈ f(x'-)-f(x")< f(r)] 反证,若f在I上不一致连续,→30>0,对♂>0(不论多小)都彐x,x”∈I,尽管{x r”<6但|f(x)-f(x")≥6(由b的任意性,构造两数列{xn}、{x”n}.) 取 ,3x和x∈I,尽管{x,-x<1,∫(x,)-f(x,)≥如此 得到的I中的两数列{x,}和{x"}满足lm(x,一x)=0,但lmf(xn)一f(x",)≠0,与条件矛盾 ∫在I上一致连续 注:用于判不一致连续:f在I上有定义,若彐{x3,},(x"CI,且im(x', )=0,但f(x)一 (x"n)+0,则∫在I上不一致连续 例11证明∫(x)在指定区间上不一致连续(只须找出I中两点列{x。},{x”}满足lim(x,-x") 0,但f(x,)-∫(x")