少穿过x轴一次 推论2①若∫在区间I(开或闭,有限或无限)上连续,f(x)≠C,则∫()也为区 ②特别地∫在闭区间I=[a,b]上连续,则∫(I)=[m,M],其中m、M分别为∫在I上 的最小值和最大值 ③特别地若∫是闭区间I=[a,b上连续的增(减)函数,则f([a,b])=[f(a), f(b)](f(b),f(a)]). 6设∫∈C[a,b],且∫([ab])[a,矶证明至少存在点r∈[a,b],使∫(x0)=x 三、反函数的连续性 定理4-8若∫在[a,上严格单调减且连续则反雨数/在[f(a),f(b) 上连续 f(b),f(a)] 注:从证明见,有单调性质的函数若找到两点y,y2满足lf(y1)-f(y)<ε和|f(y2) f(y)|<e,就找到了一个区间[y1,y2]或[y2,y]对其内的y都有|(y)-f(y)<e 例7证明反三角函数的连续性 证:④ymm在[-22]上严格增且连续, y- arcsin在-11上也连续 ②∵y=cosx在[0,丌]上严格减且连续,y= arccot在[-1,1上也连续 ③∵y= arear的定义域为(-∞,+∞)(此为无穷区间,不可直接用定理4-8) yx∈(-∞,+∞),取[a,b],使a<x<b r= tgy tElarctga,arctg6]C( )上严格增且连续 y= arctan在[ab]上连续,从而在x处连续 ∈(,中)的任性 今y=argx在(一∞,+∞)内连续, 注:定理4-8可推广到任意区间I上:若∫在I上严格单调且连续,则f1在∫()上连续这样, 由x=1在(22)严格单调且连续→-W在(∞,+)内连 ④同理可证y= arccigz在(-∞,+∞)内连续.(∵y=ctgx在(0,丌)严格减且连线) 例8证明有理指数幂函数y=x在其定义区间上连续(其中p∈N+,g∈z,q≠0,(p,q)=1) 四、一致连缥性 f(x)在区间上连续台f(x)在I上每一点都连续(当然对闭区间或半开半闭区间上的端点是指单侧 连续)￥x∈I,对>0,38=8(x,)>0,当x∈I且|x-x|<8时,|f(x)-f(x)<仔 细分析一下,上述中的点x和正数c尽管都是任意的,但正数♂还是在它们给定之后才随之确定的,一 般来说,8不仅依赖于E还允许依赖于预先给定的x由此可见,虽然我们也说∫在区间Ⅰ上连续但这 只能反映∫在Ⅰ上每一点附近的局部性质 ①例如∫(x)=在(0,1)内连续(从图形可明显看出对同一个正数,点x0不同时,相应的古也 不同,且x越小时,δ越小为了说明这一点我们不妨求出满足当|x-x<δ时,!∫(x)-f(x)|< E的♂的精确值) <<+e <l+xe“>