fx1)=minf(x)|x∈[a,b 彐x1,x:∈[a,b],使 f(x)=max{f(x)x∈[a,6即彐x1,∈[a,b,使对vx∈[a,b(x1)≤ f(x)≤f(x2) (定理4-6及下面的定理的4-7、4-9证明留到第七章§2,当然用确界存在定理已可证 推论(有界性定理)若∫(x)在[a6]上连续,则∫在[a,b]上有界 maxf(x),x∈[a,b和min{f(x)x∈[a,b分别为∫在[a,b]上的上、下界 注1°定 6只是一个充分条件,例如D(x)= Q∩[a,b lo(R-Q)∩[a,6b3 有界,有最大值 最小值0,但在[ab]上不连续 注2°定理4-6及其推论中区间的闭性和∫的连续性缺一不可!(缺少可能不成立,与充要条件 不一样!). (1)f(x)=x在(0,1)内连续有界,但无最大值和最小值 (2)/(x)=1在开区间(0,1)内连续,但无界 ∈(0,1) (3)f(x)={x 在[0,1上不连续,/在[0,1]无界亦无最A值 2x=0,1 例5(推论的推厂)如(x)在(a,)上连续,且回m:()和|mf(x)均存在(有限,则八(x)在 (a,b)上有界 f(x) x∈(a,b) 证明法一,令g(x)={mf(x)x=a lim f(r)x=6 法二:设limf(x)=A,limf(x)=B 由极限的局部有界性及f(x)在(a,b)的内闭区间上连续从而有界可证 评注:上述两种证法在讨论函数的整体性质时常用 (法二)挖掉(a,a+),(-B,b) [a+b,b-8] 处理的方1(法一)补上(延拓)a两点函数的定广目的构成闭区间 [a,b] “挖”的方法还适合于无穷区间 ①P81ex6设∫在[a,+∞)上连续,且limf(x)3,证明f(x)在[a,+∞)上有界 定理4一7(介值性定理)设∫在[ab]上连续,且f(4)≠∫(b),则对介于f(a)与∫(b)之间的 任何实数g,在(a,b)中至少存在一点使∫()=μ意味着μ∈f([a,b]) Tf(a),(b)]Cf(la 6])或[f(b),f(a)]cf(a,b]).于是有 注1°定理4-7的另一种形式:若f∈C[a,b,f(a)、f(b) f(a),f(b)] Cf(La, b [f(b),f(a)] 推论1(根的存在性定理函数的零点定理)若∫∈C[a,b],且f(a)·∫(b)<0,则至少存在一点 ∈(a,b),使f()=0. 注2(代数意义)若f(x)∈C[a,b],f(a)·f(b)<0则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根 注3几何意义)若点A(a,f(a))和点B(b,∫(b))分别在x轴的两侧则连接A、B的连续曲线至