第2期黄晓齐等：对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法75 此外，常系数线性还意味着，环境与系统间以及各容之间的热阻均为常数；各容的热容量 也均为常数。各热阻为常数意味着，环境与系统间以及各容之间的热流量与其对应温差之间 为线性关系。各热容量为常数意味着，各容吸收的热流量与该容温度对时间的导数之间为线 性关系。因此多容系统各准稳态热流量必为与环境流体温度同频率的简谐量，也可用复数表 示。且若用复数K=K乘以环境流体简谐温度源的复数表达式，则多容系统各准稳态简谐 热流量的复数表达式也应分别用来相乘。 2复数倒算法 利用基于齐次性的复数倒算法，来求多容系统对简谐环境流体温度的准稳态响应，特别简 便。为便于倒算。先画出相应的热路，从最远离温度源的瑞点或支路起逐一用复数倒算至温 度源，然后进行一次修正，即得所求解。为简化计算，不妨设最远离温度源处的端点准稳态温 度或支路热流量的复数表达式为一便于计算的复数值。然后逐一倒算出各节点准稳态简谐温 度的复数表达式，以及各支路准稳态简谐热流量的复数表达式。显然，倒算出的温度源温度复 数表达式并不等于实际温度源温度的复数表达式。后者与前者之比为某一复数。求出此 值，并将它乘以各倒算量的复数表达式，即得所求点（即各容）的实际准稳态简谐温度的复 数表达式，以及各支路（即环境与系统之间、各容之间，各容本身）的实际准稳态简谐热流量的 复数表达式。据此，就可写出它们的三角函数表达式，即得问题的解。 图1（α）是一典型的三容系统。导热系数很大的薄壁容器内，盛满强烈搅拌的温度均匀的 液体，液体中有一导热系数很大的小固体。容器的温度为t1,密度为P1,比热为℃1，体积为 V1,外壁表面积为A1,内壁表面积为A2。液体的温度为t2,密度为P2,比热为c2,体积为 V2。固体的温度为t3,密度为P3,比热为c3,体积为V3,表面积为A3。环境与容器外壁之 间，容器内壁与液体之间，液体与固体之间的对流换热系数，分别用h1,h2和h3来表示。环 境流体温度（以振幅为Tm,频率为∫随时间τ按下式作简谐变化： tf Tfm sin2 ft (1) 则此三容系统可用以下微分方程组来描述： d红 PrciVi di =hi A1 Trmsin ft-t)-h242(t1-t2) d12 P2e2 V2 d =h2A(h-t2)-h3A3(2-ts) (2) c d3=h3A3(h-t3) 可用特征值与特征向量等方法来求解上述微分方程组。但过程极繁琐。用复数倒算法则 十分简便，其过程如下： 按前面所述，式(1)所示的环境流体简谐温度可用复数表示为 o Tf=Tfme (3) i=-1 (4) 相应的热路如图1(b)所示。按复数倒算法，对于13处倒算准稳态温度t动的复数表达式，可 设为万面最简单的形式emiJouraElectro Publishing House..All rights reserved. http://www.此外 ,常系数线性还意味着,环境与系统间以及各容之间的热阻均为常数 ;各容的热容量 也均为常数 。各热阻为常数意味着 ,环境与系统间以及各容之间的热流量与其对应温差之间 为线性关系 。各热容量为常数意味着,各容吸收的热流量与该容温度对时间的导数之间为线 性关系。因此, 多容系统各准稳态热流量必为与环境流体温度同频率的简谐量 ,也可用复数表 示。且若用复数 K﹒ =Ke iφ乘以环境流体简谐温度源的复数表达式, 则多容系统各准稳态简谐 热流量的复数表达式也应分别用 K﹒ 来相乘 。 2 复数倒算法 利用基于齐次性的复数倒算法 ,来求多容系统对简谐环境流体温度的准稳态响应,特别简 便。为便于倒算 。先画出相应的热路, 从最远离温度源的端点或支路起逐一用复数倒算至温 度源 ,然后进行一次修正 ,即得所求解。为简化计算, 不妨设最远离温度源处的端点准稳态温 度或支路热流量的复数表达式为一便于计算的复数值 。然后逐一倒算出各节点准稳态简谐温 度的复数表达式 ,以及各支路准稳态简谐热流量的复数表达式。显然 ,倒算出的温度源温度复 数表达式并不等于实际温度源温度的复数表达式。后者与前者之比为某一复数 K﹒ 。求出此 K﹒ 值, 并将它乘以各倒算量的复数表达式 ,即得所求点(即各容)的实际准稳态简谐温度的复 数表达式, 以及各支路(即环境与系统之间、各容之间 ,各容本身)的实际准稳态简谐热流量的 复数表达式。据此, 就可写出它们的三角函数表达式, 即得问题的解 。 图 1(a)是一典型的三容系统 。导热系数很大的薄壁容器内 ,盛满强烈搅拌的温度均匀的 液体, 液体中有一导热系数很大的小固体 。容器的温度为 t 1 , 密度为 ρ1 , 比热为 c1 , 体积为 V1 ,外壁表面积为 A1 , 内壁表面积为 A 2 。液体的温度为 t 2 , 密度为 ρ2 , 比热为 c2 , 体积为 V2 。固体的温度为 t 3 ,密度为 ρ3 , 比热为 c3 , 体积为 V3 , 表面积为 A 3 。环境与容器外壁之 间,容器内壁与液体之间, 液体与固体之间的对流换热系数 ,分别用 h 1 , h2 和 h3 来表示 。环 境流体温度 tf 以振幅为 Tf m ,频率为 f , 随时间 τ按下式作简谐变化: tf =Tf m sin2πfτ (1) 则此三容系统可用以下微分方程组来描述: ρ1 c1 V1 d t 1 dτ=h1 A1(Tf msin2πfτ-t 1)-h 2A 2(t 1 -t 2) ρ2 c2 V2 d t 2 dτ =h2 A2(t1 -t 2)-h3 A3(t 2 -t 3) ρ3 c3 V3 d t 3 dτ =h3 A3(t2 -t 3) (2) 可用特征值与特征向量等方法来求解上述微分方程组, 但过程极繁琐。用复数倒算法则 十分简便 ,其过程如下: 按前面所述 ,式(1)所示的环境流体简谐温度可用复数表示为 ﹒Tf =T fme io (3) i = -1 (4) 相应的热路如图 1(b)所示 。按复数倒算法 ,对于 t 3 处倒算准稳态温度 t 3b的复数表达式 ,可 设为下面最简单的形式: 第 2 期 黄晓齐等 :对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法 75