到子空间S上的投影矩阵P:投影p=Pb是S中到b最近的点,误差 b-Pb和S正交。特征值是1或0。特征向量在S或S中。若A的列 向量=S的基,则P=A(AA)-1AT 广义逆矩阵A+( Moore- Penrose逆):把A的列空间变回到A的行空间的 n×m矩阵,且N(A+)=N(A1)。A+A和AA+是到行空间和列空间上的 投影矩阵。Rank(A+)=rank(A) 随机矩阵rand(m)或 rand MATLAB中由随机值生成的矩阵。对于rand 随机值服从[0,1]上的一致分布。对于 randn随机值服从标准正态分布 秩为1的矩阵:A ≠0。列和行空间=直线c和 秩:r(A)=主元数的个数=列空间维数=行空问维数 Ravleigh商:对于对称矩阵A, Rayleigh商q(x)=xAx/xx。Ammn≤ q(x)≤Mmar。q(x)的极值在相应于λmin和Mmax的特征向量x上取到 约化的行阶梯矩阵R:R=rre∫(A)。主元均为1;主元上面和下面的元素 均为0。R的γ个非零行向量给出了A的行空间的一組基 反射矩阵:Q=Ⅰ-2uu。单位向量u被反射到Qu=-1。所有在平面镜 x=0中的向量ⅹ都有Qx=x,因而在此反射下保持不变。“ Householder 矩阵”有Q=Q-=Q 右逆矩阵A+:如果A有行满秩m,令A+=A(AA1)-1则有AA+=Im 转短阵:R=0c00把平面旋转角,而B=B把平面旋 转一θ角。R是正交矩阵,特征值为e和e-0,特征向量为(1,±i) Ax=b的行图:每个方程给出了B中的一个平面;在x点平面相交, 行空间C(A):A的行向量的所有线性组合所形成的空间。列空间同样 f(a1,…xn)的鞍点:∫的一阶导数为0,二阶导数矩阵(2/(rOm= Hessian 矩阵)为不定矩阵的点✪✍➥✒❯✍✭ S ❪ ☛✝➜✝➝✍✏✒✑ P ✓✄➜❍➝ p = Pb ❱ S ✣ ✪ b ✹♠☛ ✩ ✜✄rã e = b − Pb ⑩ S ➧ ➪ ✸ ➠✍➡➯ ❱ 1 ✗ 0 ✸ ➠✍➡ ✽☞❚✍✢ S ✗ S ⊥ ✣ ✸ ➅ A ☛✍❙ ✽☞❚ = S ☛✍♦✜❲✷ P=A(AT A) −1AT ✸ ❖ ÷✝✍✏✒✑ A+(Moore ➞ Penrose ✍) ✓ ➈ A ☛❺❙ ❯❺✭ ❀✭➟ ✪ A ☛ ⑥➨❯❺✭ ☛ n × m ✏✒✑✜ ❨ N(A+) = N(AT ) ✸ A+A ⑩ AA+ ❱✍✪✍⑥✒❯✍✭ ⑩✍❙ ❯✍✭☞❪☛ ➜✝➝✍✏✒✑✸ Rank(A+) = rank(A) ✸ ä✍å✍✏✒✑ rand(n) ✗ randn(n) ✓ MATLAB ✣ ➛ ä✰å✰➯➡➠➄☛✰✏✫✑✸ ✹✰✻ rand ä✍å✍➯✝➢✍✥ [0, 1] ❪ ☛ ✯✍➒❿✝➤✸❲✹✍✻ randn ä✍å✍➯✝➢✍✥✍➙✝❊✍➧⑩❿✝➤✸ ❭✍❘ 1 ☛✍✏✒✑ ✓ A = uvT 6= 0 ✸ ❙✍⑩⑥✒❯✍✭ = ➙✍❂ cu ⑩ cv ✸ ❭ ✓ r(A)= ⑦ ❴✍❾☛✧✍❾ = ❙ ❯✍✭ ✎❾ = ⑥✒❯✍✭ ✎❾✍✸ Rayleigh ➥ ✓ ✹✍✻✍✹➎✍✏✒✑ A ✜ Rayleigh ➥ q(x) = x T Ax/x T x ✸ λmin ≤ q(x) ≤ λmax ✸ q(x) ☛✍♣✍➯✢ ✲ ☞✍✻ λmin ⑩ λmax ☛➠✍➡ ✽☞❚ x] ❪✝❀✍✪✍✸ ❋☞➦☛⑥✍⑤×✏✒✑ R ✓ R = rref(A) ✸ ⑦ ❴✍æ ❘ 1 ✡❲⑦❴✍❪ ✘☞⑩✍✗✒✘☞☛ ❴✍➼ æ ❘ 0 ✸ R ☛ r ✧ ￾➮✍⑥✒✽☞❚✍➝ ➞ ❂ A ☛⑥✒❯✍✭ ☛ ✯❥✍♦✸ ◗✍✿✍✏✒✑ ✓ Q = I − 2uuT ✸➎➦➲ ✽☞❚ u ➧ ◗✍✿✪ Qu = −u ✸●➜✍✮✍✢✍❄ ✘☛➨ u T x = 0 ✣➚☛ ✽●❚ x ✉✵✮ Qx = x ✜ ➤●Ñ✵✢✰✖◗✵✿✵✗❛✵❜✵❝❀ ✸ ò Hourseholder ✏✒✑ô❲✮ QT = Q−1 = Q ✸ ✔✍ ✏✒✑ A+ ✓ ➏✵➑ A ✮✵⑥✔✵❭ m ✜ ➟ A+ = AT (AAT ) −1 ✷✵✮ AA+ = Im ✸ ➄✝➅✏✒✑ ✓ R = " cos θ − sin θ sin θ cos θ # ➈✍❄ ✘ ➄✝➅ θ ❤☞✜ Ñ R−1 = RT ➈✍❄ ✘ ➄ ➅ −θ ❤☞✸ R ❱➧ ➪✏✒✑✜ ➠✍➡➯✍❘ e iθ ⑩ e −iθ ✜ ➠✍➡ ✽☞❚❘ (1, ±i) ✸ Ax = b ☛⑥ ✡ ✓ ❶✍✧✛✍◗➝ ➞ ❂ Rn ✣☞☛ ✯✍✧✍❄ ✘☛✡ ✢ x ✩✍❄ ✘☞✲ ➪✍✸ ⑥✒❯✍✭ C(AT ) ✓ A ☛⑥✒✽☞❚☛➜✍✮✍❂✍❃❥✍❇➜✍✐➄☛ ❯✍✭☞✸ ❙ ❯✍✭ ❬☞➍✸ f(x1, · · · , xn) ☛✝➩✩ ✓ f ☛✯✰⑤➡✯✰❾❘ 0 ✜➫q✰⑤➡✯✰❾✏✫✑ (∂ 2f/∂xi∂xj=Hessian ✏✒✑) ❘ ❝✍→✏✒✑☞☛ ✩✍✸ 9