Qx‖=x和(Qx)(Qy)=xy。所有|=1,且特征向量正交。例如 旋转,反射,置换 正交子空间:V中任意向量ⅴ和W中所有向量W都正交 标准正交向量q,q2…q:点乘满足q·q=1和q1·q=0(i≠j 以这些标准正交向量作为列向量的矩阵Q有QQ=。若m=n,则 Q=Q-1且在Pn中q1,q,…,qn是一组标准正交基:每个向量ⅴ可表示 为ⅴ=∑(yq) 外积 T=列乘以行=对一个矩阵求秩。 部分选主元:在消元法中,第j个主元是选取第j列中绝对值最大元素。所有 乘子有|≤1。舍入误差是可控制的(依赖于矩阵的条件数) 特解 Ax=b的任意解;通常xp的自由变量选为0 Pascal矩阵:P= Pascall(n),元素为二项式亲数(2+j-2 的对称矩 阵。Ps=PLP包含了所有的det=1的 Pascal三角矩阵(更多性质看附录) 置换矩阵P:将1,2,…,n重排,共有n!个排列,这n!个排列对应恒等矩阵 Ⅰ的灬!个行排列。PA按置换P重排A的行,P是行变换B;的积。P是 奇的或偶的(detP=1(或-1)依赖于对换的个数) A的主元列向量:在行化简后含有主元的那些列向量;不是前面列向量的纽合 主元列向量是列空问的一组基。 主元d:当用一行进行消元时,对角线上首个非零元称为主元 Rn中的平面(或超平面):ax=0的解是一个垂直于非零元a的(-1)维 平面。 极分解:A=QH,Q为正交矩阵,H为(半)正定矩阵 正定矩阵A:具有正特征值和正主元的对称矩阵 :矩阵A对于任意的 x≠0,xAx>0恒成立,则称A为正定矩阵 到通过a的直线上的授影p=a(ab/aa):P=aa/aa有秩1kQxk = kxk ⑩ (Qx) T (Qy) = x T y ✸☞➜✍✮ |λ| = 1 ✜ ❨➠✍➡ ✽☞❚➧ ➪✍✸☛④➏✓ ➄✝➅✜ ◗✍✿✜ ❹✍❁✸ ➧ ➪✍➥✒❯✍✭ ✓ V ✣☞s✍t ✽☞❚ v ⑩ W ✣ ➜✍✮✒✽☞❚ w ✉➧ ➪✍✸ ➙✝❊✍➧➪✒✽☞❚ q1, q2, · · · , qn ✓ ✩✍❻✔✍✖ q T i · qi = 1 ⑩ q T i · qj = 0 (i 6= j) ✸ ❏① ❬➙❍❊➧ ➪ ✽ ❚➉❘ ❙ ✽❲❚☛Û✏ ✑ Q ✮ QTQ = I ✸ ➅ m = n ✜❲✷ QT = Q−1 ❨ ✢ Rn ✣ q1, q2, · · · , qn ❱✍✯❥✍➙✝❊✍➧ ➪♦✍✓ ❶✍✧✒✽☞❚ v ■❲✈✍✇ ❘ v = P(v T qj )qj ✸ ✆❼ ✓ uvT= ❙❻✒❏☞⑥ = ✹✍✯✍✧✏✒✑☞♥✍❭✸ ➆❿✝➇⑦ ❴ ✓ ✢✒❫☞❴✍❵ ✣ ✜ ✦ j ✧ ⑦ ❴✍❱➇ ❀ ✦ j ❙✒✣☛➈✹➯ ✹ q ❴✍➼✍✸❲➜✍✮ ❻✍➥✍✮ |`ij | ≤ 1 ✸✄➉Ð r ã❱✍■✝➊✝➋ ☛ (❘✝❙ ✻✏✒✑☞☛✍✙✍✚❾) ✸ ➠ ❳ xp ✓ Ax = b ☛✍s✍t❳ ✡ ➬➭ xp ☛✾✽ ➛ ❀ ❚➇❘ 0 ✸ Pascal ✏✒✑ ✓ Ps =Pascal(n) ✜❲❴❺➼ ❘ q❺⑨❺②➨ÜÚ❾ i + j − 2 i − 1 ! ☛ ✹ ➎❺✏ ✑ ✸ Ps = PLPU ➌➎➍ ❂➐➜✵✮☛ det = 1 ☛ Pascal ❣❑❤ ✏❑✑ (➏❑④●❃✰③✰➐✰➑➓➒) ✸ ❹✍❁✍✏✒✑ P ✓❲❢ 1, 2, · · · , n ❸✝➔✜ ✃ ✮ n! ✧ ➔✍❙✜ ① n! ✧ ➔✍❙✹✝☞✛ ✚✏✒✑ I ☛ n! ✧✍⑥➔✍❙✸ PA ❦❲❹✍❁ P ❸✝➔ A ☛⑥✍✜ P ❱✍⑥❀✍❁ Pij ☛❼✍✸ P ❱ û ☛ ✗✝→☛ (detP = 1( ✗ −1) ❘✝❙ ✻✍✹❁✍☛✧✍❾) ✸ A ☛✍⑦❴ ❙ ✽☞❚ ✓ ✢✵⑥✵➦➓➣●❞ ➍✮ ⑦ ❴ ☛✰↔❬ ❙ ✽●❚✡ ❝✵❱✿❑✘●❙ ✽●❚☛✍❥✵❇✸ ⑦ ❴ ❙ ✽☞❚✍❱❙ ❯✍✭ ☛ ✯❥✍♦✸ ⑦ ❴ d ✓Û✤ ì✍✯✍⑥➃ ⑥✒❫☞❴✴ ✜❲✹✒❤☞❂✍❪✒✧ ￾➮✍❴➎✍❘✍⑦❴✍✸ Rn ✣☞☛ ❄ ✘ (✗❱ ❄ ✘ ) ✓ a T x = 0 ☛❳✍❱✍✯✍✧✝↕✝➙✍✻ ￾➮✍❴ a ☛ (n − 1) ✎ ❄ ✘ ✸ ♣❿ ❳ ✓ A = QH ✜ Q ❘✍➧➪✏✒✑✜ H ❘ (ç) ➧ → ✏✒✑✸ ➧ → ✏✒✑ A ✓✄➛✮➧➠➡➯⑩➧⑦ ❴ ☛ ✹ ➎✏ ✑ ✸❲→÷ ✓❲✏ ✑ A ✹✻ st☛ x 6= 0 ✜ x T Ax > 0 ✛➄ é✍✜❲✷➎ A ❘✍➧→ ✏✒✑✸ ✪ ➬✍Ø a ☛ ➙✍❂✍❪☛✝➜✝➝ p = a(a T b/aT a) ✓ P = aaT /aT a ✮❭ 1 ✸ 8