m>0,则MA的列向量接近稳定状态的特征向量Ms=s>0 矩阵乘法AB:AB的笫讠行第j列元素是A的第讠行B的第j列相乘 =∑ aikbkj。列向量:AB的第j列=A乘B的第j列。行向量:AB的 第讠行=A的第讠行乘B。列乘行:AB=∑(k列)(k行)。所有这些等价定 义都来自于规则:ABx=A·Bx 极小多项式:满足m(A)=0的次数最小的多项式。m的根是特征值 是det(A-AD)的因子 乘法:Ax=x1(第1列)+……+xn(第n列)=列向量的鉏合 重数AM和GM:一个特征值λ的代数重数AM是指λ作为de(A-AD)=0 的根的重数。几何重数GM是此特征值λ所对应的线性独立的特征向量的个数 =(A所对应的特征空间的维数) 乘子(1:第j行的主元乘(后,在i行把其减掉而消去(ij)处的元素 eij=(消去元)/(第j行主元) 网络:一个有C1,C2,…,cm个常值与m条边相对应的有向图 幂零矩阵N:N的某次幂是零矩阵,即存在正整数k使得N=0。仅有的 特征值是λ=0(k重)。例如,对角线为零的三角矩阵 矩阵的范数‖4:“P2范数"是1的最大比值=0mx,则4x≤4x, ‖AB≤‖州!!B和‖A+班≤‖A‖+‖B. Frobenius范数‖A‖}= ∑∑嗚;(和C的范数分别是|a|列中元素和的最大值和行中元素 和的最大值 标准方程AA=ATb:若A有满秩n,由标准方程可得到Ax=b的最小 二乘解。方程说明(A的列)·(b-A8)=0 正规矩阵N:NN=NTN,有标准正交的(复)特征向量 零空间N(A):N(A)={Ax=0的解}。维数为n-7=(列数)-rnk 零空间矩阵N:N的列是As=0的π-r个特解。正交矩阵Q是有标准 正交列向量的方阵。于是由QQ=I得QT=Q-1。矩阵Q保角且保距mij > 0 ✜❲✷ Mk ☛✍❙ ✽☞❚✎✝♠✝⑧→✝⑨✝⑩☛➠✍➡ ✽☞❚ Ms = s > 0 ✸ ✏✒✑❻✍❵ AB ✓ AB ☛➨✦ i ⑥ ✦ j ❙ ❴❺➼❺❱ A ☛➨✦ i ⑥ B ☛➨✦ j ❙❺✲ ❻ = Paikbkj ✸ ❙ ✽☞❚✓ AB ☛✒✦ j ❙ = A ❻ B ☛✒✦ j ❙ ✸❲⑥✒✽☞❚✓ AB ☛ ✦ i ⑥ =A ☛✒✦ i ⑥✍❻ B ✸ ❙❻✍⑥✓ AB = P(k ❙ )(k ⑥) ✸●➜✍✮① ❬✝✚✝❶✍→ ÷✍✉✍➊ ✽ ✻✝❷✍✷✓ ABx = A · Bx ✸ A ☛✍♣➇✒④☞⑨✍② ✓❲✔❺✖ m(A) = 0 ☛ ➾❺❾✹ ➇ ☛ ④Ú⑨❺②❺✸ m ☛ ➢❺❱➠❺➡➯ ✜ m(λ) ❱ det(A − λI) ☛ ➤☞➥✍✸ ❻✍❵ ✓ Ax = x1(✦ 1 ❙ )+· · ·+xn(✦ n ❙ )= ❙ ✽☞❚☛✍❥✍❇✸ ❸❾ AM ⑩ GM ✓ ✯✵✧➠✵➡➯ λ ☛❡✵❾❸❾ AM ❱✮ λ ➉✵❘ det(A−λI) = 0 ☛➢ ☛✝❸❾✍✸❣❹❡✝❸❾ GM ❱✝✖➠✍➡➯ λ ➜✍✹✝☞☛ ❂✍❃✍è✍é☛➠✍➡ ✽☞❚☛✧✍❾ =(λ ➜✍✹✝☞☛➠✍➡ ❯✍✭ ☛✝✎❾) ✸ ❻✍➥ `ij ✓Û✦ j ⑥ ☛ ⑦ ❴❻ `ij ❞ ✜❲✢ i ⑥➈❸❍✤▼Ñ ❫ ▲ (i,j) ➋ ☛ ❴➼ ✓ `ij=(❫☞▲✍❴)/(✦ j ⑥ ⑦ ❴) ✸ ❺☛❻ ✓ ✯✍✧✍✮ c1, c2, · · · , cm ✧ ➭✍➯❩ m ✙✍✱✍✲✹✝☞☛ ✮✒✽ ✡ ✸ ❼ ➮✏✒✑ N ✓ N ☛★❽➾ ❼ ❱✍➮✏✒✑✜Û❉ ⑦ ✢➧★❾❾ k ✌✍î Nk = 0 ✸ ✶✮ ☛ ➠✍➡➯ ❱ λ = 0(k ❸ ) ✸✄④➏ ✜❲✹✒❤☞❂❘ ➮ ☛ ❣✒❤ ✏✒✑✸ ✏✒✑☞☛★❿❾ kAk ✓➓ò l 2 ❿❾✰ô➷❱ kAxk kxk ☛✹ q❮ ➯ = σmax ✸➷✷ kAxk ≤ kAkkxk ✜ kABk ≤ kAkkBk ⑩ kA + Bk ≤ kAk + kBk ✸ Frobenius ❿❾kAk 2 F = P P a 2 ij ✡ ` 1 ⑩ `∞ ☛➀❿❾❿❍❳ ❱ | aij | ❙ ✣ ❴➼ ⑩☛ ✹ q➯⑩⑥ ✣ ❴➼ ⑩✍☛ ✹ q✍➯✸ ➙✝❊✍✛✍◗ AT Axb = ATb ✓ ➅ A ✮ ✔✍❭ n ✜✍➛ ➙✝❊✍✛✍◗■✍î✍✪ Ax = b ☛✹ ➇ q✍❻✍❳✍✸ ✛✍◗✝➁★➂ (A ☛✍❙)· (b − Axb)=0 ✸ ➧❷ ✏✒✑ N ✓ NNT = NT N ✜❲✮➙✝❊✍➧ ➪ ☛ (➱ ) ➠✍➡ ✽☞❚✍✸ ➮✒❯✍✭ N(A) ✓ N(A) = {Ax = 0 ☛❳ } ✸ ✎❾ ❘ n − r=(❙❾)−rank ✸ ➮✒❯✍✭ ✏✒✑ N ✓ N ☛✍❙❱ As = 0 ☛ n − r ✧ ➠ ❳✍✸ ➧ ➪✏✒✑ Q ❱✍✮➙✝❊ ➧ ➪ ❙ ✽☞❚☛✍✛✒✑✸ ✻✍❱✒➛ QTQ = I î QT = Q−1 ✸ ✏✒✑ Q ❛✒❤ ❨❛✝➃✍✜ ❉ 7