为[0,1上的凸函数 18、证明:(1)设f在(a,+∞)上可导,若lmf(x),lmf(x)都存在,则 imf(x)=0。 (2)设f在(a,+∞)上n阶可导,若mf(x)和mf(x)都存在,则 → imf((x)=0(k=1,2,…,n)。 19、设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数。若f在(-∞,+∞)上有界,则存在 5∈(-∞,+∞),使∫"(5)=0 习题答案 §2柯西中值定理和不定式极限 5、(1)1:(2)一;(3)1:(4)2:(5)1:(6):(7)1:(8) (9)1:(10)0;(11) ;(12)e 7、(1)-2:(2)0:(3)1:(4)e-;(5);(6)0:(7)-:(8)e 3泰勒公式 1、(1)f(x)=1-x2y+…+(-)(hNx”+o(x) (2)f(x)=x-x+x2+O(x3) (3)f(x)=x+x3+2x3+o(x3)。 2、(1);(2)-:(3) 3、(1)f(x)=10+(x-1)+7(x-1)2+(x-1)3 (2)f(x)=1 (-1) ,0<b<1 (1+)” 4、(1)|R4(x)k (2)|R2(x),。 5、(1)取n=12e≈2718281828: (2)104139 §4函数的极值与最大(小)值9 为[0，1]上的凸函数。 18、证明：（1）设 f 在（a，+∞）上可导，若 lim f (x), lim f (x) x x  →+ →+ 都存在，则 lim ( ) = 0 →+ f x x 。 （2）设 f 在（a，+∞）上 n 阶可导，若 lim f (x) x→+ 和 lim ( ) ( ) f x n x→+ 都存在，则 lim ( ) 0( 1,2, , ) ( ) f x k n k x = =  →+ 。 19、设 f 为 (−,+) 上的二阶可导函数。若 f 在 (−,+) 上有界，则存在   (−,+) ，使 f ( ) = 0。 习题答案 §2 柯西中值定理和不定式极限 5、（1）1；（2） 3 3 ；（3）1；（4）2；（5）1；（6） 2 1 ；（7）1；（8） e 1 ； （9）1；（10）0；（11） 3 1 − ；（12） 3 1 e ； 7、（1） 2 4  − ；（2）0；（3）1；（4） −1 e ；（5） 2 1 ；（6）0；（7） 2 e − ；（8） −1 e 。 §3 泰勒公式 1、（1）f（x）= ( ) !2 (2 1)!! ( 1) 2! 2 3 2 1 2 1 1 3 n n n n x x n n x x + − + + −  − +  ； （2）f（x）= ( ) 5 1 3 1 3 5 5 x − x + x +  x ； （3）f（x）= ( ) 15 2 3 1 3 5 5 x + x + x + x 。 2、（1） 3 1 ；（2） 2 1 ；（3） 3 1 。 3、（1）f（x）= 2 3 10 +11(x −1) + 7(x −1) + (x −1) ； （2）f（x）= 1 1 2 3 1 (1 ) ( 1) 1 ( 1) + + − + − − + + + − + n n n n n x x x x x   ，0  1。 4、（1） 2 5! 1 | ( ) | 4 5  R x  ； （2） 16 1 | ( ) | R2 x  。 5、（1）取 n = 12,e  2.718281828 ； （2） 1.04139。 §4 函数的极值与最大（小）值