x sin (3)lim 8、设h0,函数f在U(ah)内具有n+2阶连续导数,且fm2(a)≠0,f在U(a,h) 内的泰勒公式为 f(a+h=f(a)+f(a)h+ h"!0<<1。 证明:mb.1 n+ 9、设k>0,试问k为何值时,方程 arctan-kx=0存在正实根 10、证明:对任一多项式p(x),一定存在x1与x2,使p(x)在(-∞,x1)与(x2, +∞)分别严格单调 11、讨论函数 f(x)={2 x≠0 0.x=0 (1)在x=0点是否可导? (2)是否存在x=0的一个邻域,使f在该邻域内单调? 12、设函数f在[a,b上二阶可导,f'(a)=f∫'(b)=0。证明存在一点5∈(a,b),使 f(5)P f(b)-f(a)。 13、设函数f在[0,司上具有二阶导数,且∫"(x)≤M,f在(0,a)内取得最大值 试证 f'(0)|+|f(a)M。 14、设f在[0,+∞)上可微,且0≤f'(x)≤f(x),f(0)=0。证明:在[0,+∞)上 f(x)≡0 15、设f(x)满足f"(x)+f(x)g(x)-f(x)=0,其中g(x)为任一函数。证明: 若f(x0)=f(x1)=0(x<x1),则f在[x0,x1]上恒等于0。 16、证明:定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加 17、证明:f为I上凸函数的充要条件是对任何x1,x2∈,函数 1)=f(x1+(18 （3） x x x x sin 1 sin lim 2 →0 。 8、设 h>0，函数 f 在 U (a;h) 内具有 n+2 阶连续导数，且 ( ) 0 ( 2)  + f a n ，f 在 U (a;h) 内的泰勒公式为 ,0 1 ( 1)! ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1)   + + + = +  + + + + +   n n n n h n f a h h n f a f a h f a f a h  。 证明： 2 1 lim 0 + = h→ n  。 9、设 k>0，试问 k 为何值时，方程 arctanx – kx = 0 存在正实根。 10、证明：对任一多项式 p（x），一定存在 1 x 与 2 x ，使 p（x）在（-∞， 1 x ）与（ 2 x ， +∞）分别严格单调。 11、讨论函数     = +  = 0, 0, , 0, 1 sin 2 ( ) 2 x x x x x f x （1）在 x=0 点是否可导？ （2）是否存在 x=0 的一个邻域，使 f 在该邻域内单调？ 12、设函数 f 在[a，b]上二阶可导， f (a) = f (b) = 0 。证明存在一点   (a,b) ，使 得 | ( ) ( ) | ( ) 4 | ( ) | 2 f b f a b a f − −    。 13、设函数 f 在[0，a]上具有二阶导数，且 | f (x)  M ，f 在（0，a）内取得最大值。 试证 | f (0) | + | f (a) | Ma 。 14、设 f 在[0，+∞）上可微，且 0  f (x)  f (x), f (0) = 0 。证明：在[0，+∞）上 f（x）≡0。 15、设 f（x）满足 f (x) + f (x)g(x) − f (x) = 0 ，其中 g（x）为任一函数。证明： 若 ( ) ( ) 0( ) 0 1 0 1 f x = f x = x  x ，则 f 在[ 0 x ， 1 x ]上恒等于 0。 16、证明：定圆内接正 n 边形面积将随 n 的增加而增加。 17、证明：f 为 I 上凸函数的充要条件是对任何 1 x ， x  I 2 ，函数 ( ) ( (1 ) ) 1 2   = f x + −  x