有势场 有势场 定义]设有矢量场AM,若存在单值函数u(M)满足： 定理1在线单连域内矢量场A(M0为有势场的充 4=grad u 要条件是A(M0为无旋场。 ■称此矢量场为有势场 证]必要性 A=P(M)i+(M)j+R(M)R A(M)为有势场 。命=-4，则为失量场的势函数，即 4=-grad v P=u,Q=4,R= A=grad u ■Note1:有势场是梯度场： ■Note2:有势场的势函数有无穷多个： rota=V×A a =R-0)+P-R)+0,-P=0 ■Note3:有势场的势函数之间差一个常数 R A(0为无旋场 lexulamall.xidian.edu.cn ,。·。夏变函数与场论。。。。。。 17 lexuamail cidian.edu.cn 、复变函数与场论 18 有势场 有势场 冬充分性若A为无旋场，则场中处处有rotA=0 推论1如下四种表述等价：在线单连域内， 、A:与路径无关一∮A-:=0一斯托克斯公式 ■(1)失量场A是有势场（某个数量场的梯度场） 固定点M,oz0,以Mcyz)为动点构造数性函 ·(2)失量场A是无旋场（场内处处旋度为零） 数 《x2 ■(3)失量场4是保守场（场内线积分与路径无关） u(x,y,z)= A.dl= Pdx+Ody +Rdz ■（④表达式是某个函数的全微分 -=P Ar Ar 一=im Ar Adi=Px+Oh+R=k+山+ gradu-Vu-ji+ y A(0为有势 fexula mail.xidian.edu.cn 复变函数与场论。。。·。·· 1.cidian.edu.cn 复变函数与场论··。···· 10