有势场 有势场 通过全微分求解势函数 ”例1验证矢量场4为有势场，并求其势函数 1.选定场中一点M,(mp) 2. 求以任意路径从点M,(化mo)到点M(x,z)的线积分 A=(3x2-6xy)元+(3y2-3x2)9 u(x,y,z)= )=p) Pdx+Ody +Rdz 必证： xyw5) (a-yato) P=3x2-6y Q=3y2-3x2 3. 令=-得到势函数 为方便起见，通常取逐段平行于坐标轴的折线作为积 aP -6x 分路径，即 dy Ox x,,2)=Pxy,)d+ e(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz rot A=0, A为有势场 lexal@mail.xidian.edu.cn 。 复变函量与场论···。·· 21 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数与场论。······ 22 势函数 势函数 势函数求解方法 1公式法（线积分法）引 势函数求解方法二 偏积分法1 ■建立势函数 M(x,y) ■建立势函数全撤分A=(3x2-6y)+(3y2-3x2)° A=3r2-6y)r+3y2-3xr2)9 ■建立偏微分方程组du=Pd+Qd少 ■选取分段积分路径 Cu ■求势函数 dx=0,x=x =3y2-3x2 0 M。(x,0x ■求势函数 =3x2-6.y, /0y u(x.y)=3x'dx+(3y'-3x')dy=x'+y-3xy u=x-3xy+o(y) Ow。 MoM a=-3r2+p)=3y2-3x C ux,y)=x+y-3x'y+C d小=0，y=0 p(0)=3y2→0y)=y2+C x)=-(x)=-x-y3+3xy+C (x,）=x3+y-3x2y+C.cy=-x)=--y+3y+C fewu(mail.xidian.edu.cn 复交雨政与场论····。·· 23 w@mald加m.thn☐···。··复变函数与场论。·。。··· 24