高等数学教案 第十二章无穷级数 第四节函数展开成幂级数 教学内容：函数展开为泰勒级数的充分必要条件，e,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+a)“的 麦克劳林展开式 教学目标：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；掌握e,sinx,cosx,n(1+x)和 (1+α)“的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 教学重点：e,sinx,cosx,ln(1+x)和(I+a)“的麦克劳林展开式 教学难点：泰勒级数 教学方法：讲授法 作业：P2851,2,3,4,5,6 教学过程： 一、泰勒级数 要解决的问题：给定函数x),要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就 是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数x), 如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数x)在该区间内能展开成幂级数，或简单地说函 数孔x)能展开成幂级数，而该级数在收敛区间内就表达了函数fx), 泰勒多项式：如果f孔x)在点x的某邻域内具有各阶导数，则在该邻域内f孔x近似等于 f)=f()+fCox-x)+-x+ 2刘 +fmx-o》+R(), n! 其中R,=fa⑤c-)传介于x与为之间 (n+1)！ 泰勒级数：如果f孔x)在点的某邻域内具有各阶导数(x),"(x,·, f(x),··,则当no时，fx)在点o的泰勒多项式 p.()=fO)+IGx-x)+ 2刘 n! 成为幂级数 fe+%e2-w-…2e-r+ _n 这一幂级数称为函数f孔x)的泰勒级数.显然，当x=x时，f孔x)的泰勒级数收敛于f孔xa). -1