高等数学教案 第十二章无穷级数 需回答的问题：除了x=外，x)的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛 于fx? 定理设函数f孔x)在点xo的某一邻域U(xo)内具有各阶导数，则fx)在该邻域内能展 开成泰勒级数的充分必要条件是f孔x)的泰勒公式中的余项R(x)当n0时的极限为零，即 limR,(x)=0(x∈U(xo) 7 证明先证必要性.设fx)在U(x)内能展开为泰勒级数，即 f=f+f-x+"%2x-}P++foox-x+… 2 n 又设5n+1(x)是fx)的泰勒级数的前n+1项的和，则在U(xo)内sn+1(x)→xn→o. 而f孔x)的n阶泰勒公式可写成f孔x=sn+1(x+Rn(x,于是R(x)=fx-sn+1(x)→0(n-o). 再证充分性.设Rn(x)→0(n→0)对一切x∈U(xo)成立. 因为fx)的n阶泰勒公式可写成fx=sn+1x+Rn(x),于是sn+1(x=fx-Rn(x-→fx刘， 即f孔x)的素勒级数在U(xo)内收敛，并且收敛于f孔x. 麦克劳林级数：在泰勒级数中取xo=0,得 f0+f'0x+2x2+…+0、 2x”…, n! 此级数称为f孔x)的麦克劳林级数 展开式的唯一性：如果f孔x)能展开成x的幂级数，那么这种展式是唯一的，它一定与 f孔x)的麦克劳林级数一致.这是因为，如果f孔x)在点xo=0的某邻域(-R,)内能展开成x的幂级 数，即 fx=00+01x+a2x+…+0nX+.·, 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导，有 f'(x)=01+202X+3a3X2+·+n0nx-1+·, f"x=2a2+3-2a3x4+n-n-1)ax-2+, f"x=3la3t…+n-n-1n-2anx-3+…, fn(x=nlan+(n+1)nln-1)·2an+1x+·, 于是得 21，a,=0 of01,f'1o.,='0 应注意的问题：如果孔x)能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是x)的麦克劳林 级数.但是，反过米如果x)的麦克劳林级数在点x0的某邻域内收敛，它却不一定收敛于 x).因此，如果x)在点o0处具有各阶导数，则fx)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个 级数是否在某个区间内收敛，以及是否收敛于x)却需要进一步考察。 二、函数展开成幂级数 展开步骤： -2