高等数学教案 第十二章无穷级数 第一步求出fx)的各阶导数：f"(x,f"(x,·,f(x,·. 第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值： fo,f'(0,f"(0,·,f0,· 第三步写出幂级数 f0+f0x+0x2+…+/90x+… 2 n 并求出收敛半径R. 第四步考察在区间(-R,R)内时是否R(x→0(n→∞). lim R()=limf( n-o(n+1)！ 是否为零.如果Rn(x)→0(no),则f孔x)在(-R,R)内有展开式 f)=f0+f0x+fX0x2++f0x+…←Rx<R. 2 n 例1将函数x=e展开成x的幂级数. 解所给函数的各阶导数为f(x=e(n=1,2,…,因此fo)=1(n=1,2,·.于是得 级数 1+x+x2+…x"+… 2 n! 它的收敛半径R=+oo. 对于任何有限的数x、5(5介于0与x之间)，有 +0reMr1 IR,(x)es (n+1)! +0,所以，mR,非0，从而有展开式 而imx e=1++22+a+(<<网. 例2将函数f孔x)=sinx展开成x的幂级数， 解因为fo(=sin(x+n:受n=1,2…以 所以f(o)顺序循环地取0,1,0，-1，…(n=0,1,2,3,,于是得级数 x蜀号+(r (2n-0+…, 它的收敛半径为R=+oo. 对于任何有限的数x、(5介于0与×之间)，有 3