高等数学教案 第十二章无穷级数 sinl+(n+1) R)= 2 (n+1)H x*s*1 (n+1)！ →0(n-→01. 因此得展开式 sinx=x-xx 35 …+(-1)-1x21 +…(-0<x<+00). (2n-1) e*=l+x+Ix 2+…x”+…(-0<x<+0) 21 n. 例3将函数孔x)=(1+x”展开成x的幂级数，其中m为任意常数。 解：x)的各阶导数为 f'x=m(1+xm-1, f"(x=m(m-11+xm-2, f(x)=m(m-1(m-2}.(m-n+1(1+xm, 所以f0)=1,f'0)=m,f"(0=m(m-1,,f(o)=mlm-1(m-2》.(m-n+1,… 于是得幂级数 1+mx+mm-Dx2++mm-0-:m-n+x"+. 21 n 可以证明 0+对yn=1+x+mm-Dr2+…+mm-l）:m-m+Dx"+…(←1<x<. 2 n 间接展开法： 例4将函数f孔x=cosx展开成x的幂级数. 解已知 sinx= 宝+室…+广…x 对上式两边求导得 COSx=1-x2x4 24到…+(-10”x20 (2+…(-0<x<+o). 例5将函数心)十文展开成x的幂级数 解因为=+++r+1<0, 把x换成-x,得 …4