新视角。 二、建立谣言传播的群体行为SR 由于大多数传染病人治愈后均有很强的免疫力， 模型 已感染者(Infective),他们已经退出传染系统，该模型 的假设条件为： 条件（①）人群分为健康者、病人和病愈免疫移出 模型假设A:假设所考察的地区的群众总人口数 者，三类人在总人数N中占的比例分别为S(①、I()和 不变，人口保持一个常数N。 R(D。 模型假设B:人群分为三类：一类是易受谣言影响 条件(2)病人的日接触率入，日治愈率为u,传染 的人群，我们称为易感染者，其数量比例记为S①，表 期接触数为σ=L 示t时刻未感染者但有可能被谣言传染的人数占总人 数的比例：第二类是接受并相信和传播谣言的人群， 由条件(1)有：St+l0+R0)=1 (1D 我们称为己感染者，其数量比例记为I心，表示t时刻 由条件(2有：NL=-AWS-uWM (2) 已被感染成为谣言携带者而且具有传染力的人数占 dt 对于病愈的移出者而言有：N迟μM 总人数的比例：第三类是受到谣言干扰但不相信谣言 (3) dt 的人群，我们称为免疫者，其数量比例记为R①，表示t 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是S(0 时刻已从感染者或易感染者移出的人数（这部分人既 和I(O),故SR模型的方程为见公式(4)： 非己感染者，也非易感染者，不具有传染性，他们己退 L=S-d,i0)=6 出该传染系统)占总人数的比例。 设a是一个人可以接触并传播的人的数量，b是 S =-2S1,s(0)=56 (4) 听到谣言后相信的概率，I(O)是0时刻时己感染者的数 d 量比例，$(O)是0时刻时未感染者但有可能被谣言传 SR模型中使用了相轨线，相轨线表示S(t)和I(t) 染的人数占总人数的比例。 随时间的变化。曲线上的坐标表示在某时刻S和I的 情景1：当a=1,b=0.3,l0)=0.02,S0)=0.98时，即当 值，即L(S),I(t)。用微分方程的定性理论来讨论公式 一个人可以接触传播的人数为一人，人们听信谣言并 (4)的解的性质。在相平面上相轨线的定义域为(5)： 相信的概率是0.3，初始时听信谣言的人数比率为 D=S,1S≥0,1≥0，S+1≤1m 0.02,易受谣言影响的人数比率为0.98。 分析随时间t的变化，SL,R等参数的具体数值变 I=S0)+I(0)-S+-Ln- "s(o) 5 化规律见表1。 表1a=1,b=0.3.10)=0.02,S(0=0.98随时间变化的规律 t 0 2 3 4 J 7 I() 0.02 0.039 0.0732 0.1285 0.2032 0.2796 0.3314 0.3443 0.3244 S(t) 0.98 0.9525 0.9019 0.8169 0.6928 0.5437 0.3994 02840 0.2030 R(t) 0 0.0085 0.0249 0.0546 0.104 0.1767 0.2692 0.3717 0.4726 9 10 20 25 30 35 40 45 I() 0.2853 0.2411 0.0788 0.0223 0.0062 0.0017 0.0005 0.0001 0.0000 S(t) 0.1504 0.1157 0.0546 0.0436 0.0410 0.0403 0.0401 0.0400 0.0400 R(t) 0.5643 0.6432 0.8666 0.9341 0.9528 0.958 0.9594 0.9599 0.9600 如果仅看S①，在t=5时S(⑤大于50%，而在t=6 情景2：当我们改变a,一个人可以接触并传播3 时S6低于50%，不过可以看到$0与R)的和一直大 个人，其他条件不变。即a=3,b=0.3,I0)=0.02.S0)= 于①，显示双方力量对比一直是有利于稳定的。但前 0.98。条件表示一个人可以接触传播的人数为3人，人 提之一的b=0.3是比较乐观的一个比例。从相轨线上 们听信谣言并相信的概率是0.3，初始时听信谣言的 看在S为0.3左右时1到达最大值，最大值约为0.35。 人数比率为0.02，易受谣言影响的人数比率为0.98。 此时1的数值不是很高，所以还比较平稳。 随时间的变化S,L,R具体数值见表2。 38 C1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net新视角。 由于大多数传染病人治愈后均有很强的免疫力， 已感染者（Infective)，他们已经退出传染系统，该模型 的假设条件为： 条件（1）人群分为健康者、病人和病愈免疫移出 者，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 S（t）、（I t）和 R（t）。 条件（2）病人的日接触率 λ，日治愈率为 μ，传染 期接触数为 σ＝ λ μ 。 由条件(1)有：S(t)+I(t)+R(t)=1 （1） 由条件(2)有：N dI dt =λNSI-μNI （2） 对于病愈的移出者而言有: N dR dt =μNI （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 S（0） 和 （I 0），故 SIR 模型的方程为见公式（4）： （4） SIR 模型中使用了相轨线，相轨线表示 S（t）和 （I t） 随时间 的变化。曲线上的坐标表示在某时刻 S 和 I 的 值，即 L(S(t)，（I t）)。用微分方程的定性理论来讨论公式 （4）的解的性质。在相平面上相轨线的定义域为（5）： [10]。 （5） 二、建立谣言传播的群体行为 SIR 模型 模型假设 A：假设所考察的地区的群众总人口数 不变，人口保持一个常数 N。 模型假设 B：人群分为三类：一类是易受谣言影响 的人群，我们称为易感染者，其数量比例记为 S(t)，表 示 t 时刻未感染者但有可能被谣言传染的人数占总人 数的比例；第二类是接受并相信和传播谣言的人群， 我们称为已感染者，其数量比例记为 I(t)，表示 t 时刻 已被感染成为谣言携带者而且具有传染力的人数占 总人数的比例；第三类是受到谣言干扰但不相信谣言 的人群，我们称为免疫者，其数量比例记为 R(t)，表示 t 时刻已从感染者或易感染者移出的人数 (这部分人既 非已感染者，也非易感染者，不具有传染性，他们已退 出该传染系统)占总人数的比例。 设 a 是一个人可以接触并传播的人的数量，b 是 听到谣言后相信的概率，I(0)是 0 时刻时已感染者的数 量比例，S(0)是 0 时刻时未感染者但有可能被谣言传 染的人数占总人数的比例。 情景 1：当 a=1，b=0.3，I(0)=0.02,S(0)=0.98 时，即当 一个人可以接触传播的人数为一人，人们听信谣言并 相信的概率是 0.3，初始时听信谣言的人数比率为 0.02，易受谣言影响的人数比率为 0.98。 分析随时间 t 的变化，S,I,R 等参数的具体数值变 化规律见表 1。 表1 a=1,b=0.3, I(0)=0.02, S(0)=0.98随时间变化的规律 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I(t) 0.02 0.039 0.0732 0.1285 0.2032 0.2796 0.3314 0.3443 0.3244 S(t) 0.98 0.9525 0.9019 0.8169 0.6928 0.5437 0.3994 0.2840 0.2030 R(t) 0 0.0085 0.0249 0.0546 0.104 0.1767 0.2692 0.3717 0.4726 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45 I(t) 0.2853 0.2411 0.0788 0.0223 0.0062 0.0017 0.0005 0.0001 0.0000 S(t) 0.1504 0.1157 0.0546 0.0436 0.0410 0.0403 0.0401 0.0400 0.0400 R(t) 0.5643 0.6432 0.8666 0.9341 0.9528 0.958 0.9594 0.9599 0.9600 如果仅看 S(t)，在 t=5 时 S(5)大于 50%，而在 t=6 时 S(6)低于 50%，不过可以看到 S(t)与 R(t)的和一直大 于 I(t)，显示双方力量对比一直是有利于稳定的。但前 提之一的 b=0.3 是比较乐观的一个比例。从相轨线上 看在 S 为 0.3 左右时 I 到达最大值，最大值约为 0.35。 此时 I 的数值不是很高，所以还比较平稳。 情景 2：当我们改变 a，一个人可以接触并传播 3 个人，其他条件不变。即 a=3，b=0.3，I(0)=0.02, S(0)= 0.98。条件表示一个人可以接触传播的人数为 3 人，人 们听信谣言并相信的概率是 0.3，初始时听信谣言的 人数比率为 0.02，易受谣言影响的人数比率为 0.98。 随时间的变化 S,I,R 具体数值见表 2。 38