§5初等因子 初等因子的概念 定义7把矩阵A(或线性变换A)的每个次数大于零的不变因子分解成互 不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次 数计算)称为矩阵A(或线性变换A)的初等因子 例设12级矩阵的不变因子是 1…,1,(4-1)2,(-1)2(2+1),(4-1)2(+1)x2+1) 按定义,它的初等因子有7个,即 (λ-1)2(2-1)2,(A-1)2,(4+1),(2+1),(λ-)2,(2+1) 其中(λ-1)2出现三次,4+1出现二次 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系首先,假设n级矩阵A的不变 因子d1(4),d2(4),…,dn(4)为已知将d1(A)i=1,2,…,n)分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积: d1(4)=(2-4)(A-2)2…(-), d2()=(2-4)(2-2)2…(-), d(4)=(2-1)(A-12)2…(-4) 则其中对应于k,≥1的那些方幂 (2-)(k21 就是A的全部初等因子注意不变因子有一个除尽一个的性质,即 d(4)ldl(A)(=1,2,…,n-1), 从而 (-λ,)1(2-,)(=1,2,…,n-1;j=1,2,…,r) 因此在d1(),d2()…,dn()的分解式中,属于同一个一次因式的方幂的指数有§5 初等因子 一、初等因子的概念 定义 7 把矩阵 A （或线性变换 A）的每个次数大于零的不变因子分解成互 不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次 数计算)称为矩阵 A (或线性变换 A)的初等因子. 例 设 12 级矩阵的不变因子是 2 2 2 2 2 9 1,1, ,1,( −1) ,( −1) ( +1),( −1) ( +1)( +1)   个 . 按定义，它的初等因子有 7 个，即 2 2 2 2 2 ( −1) ,( −1) ,( −1) ,( +1) ,( +1) ,( − i) ,( + i) . 其中 2 ( −1) 出现三次，  +1 出现二次. 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设 n 级矩阵 A 的不变 因子 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dn  为已知.将 d ( )(i 1,2, ,n) i  =  分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积： r k r k k d 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1  =  − 1  − 2   −  , r k r k k d 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2  =  − 1  − 2   −  , n n n r k r k k dn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2  =  − 1  − 2   −   , 则其中对应于 kij  1 的那些方幂 ( − ) ( 1) ij k j k ij   就是 A 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) di  di+1  i =  n − , 从而 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1; 1,2, , ) 1, i n j r ij i j k j k  −  j  −  + =  − =  . 因此在 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dn  的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有