递升的性质,即 这说明,同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必定出现在 d(4)的分解中,方次次高的必定出现在dn1(4)的分解中如此顺推下去,可知 属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯 一确定的 二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因 子的方法设一个n级矩阵的全部初等因子为已知,在全部初等因子中将同一个 次因式(2-X(j=12,…,r)的方幂的那些初等因子按降幂排列,而且当这些初 等因子的个数不足n时,就在后面补上适当个数的1,使得凑成n个设所得排列 为 (2-),(2-1,)…(1-,),(=1,2,…,r) 于是令 d(A)=(2-1)(2-l2)2…(1-,)(=1,2,…n), 则d1(A),d2()…,dn(4)就是A的不变因子 这也说明了这样一个事实:如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子,则 它们就有相同的不变因子,因而它们相似反之,如果两个矩阵相似,则它们有 相同的不变因子,因而它们有相同的初等因子 综上所述,即得 定理8两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量但是初等因子的求法与不变因 子的求法比较,反而方便一些 如果多项式f(A),f2(4)都与g1(4),82(4)互素,则 (f(4)g1(A)2(4)g2(4))=(f(),2()(g1(4),g2() 引理设递升的性质，即 ( 1,2, , ) 1 2 k k k j r j  j  nj =  . 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在 () dn 的分解中，方次次高的必定出现在 ( ) dn−1  的分解中.如此顺推下去，可知 属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯 一确定的. 二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因 子的方法.设一个 n 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一 次因式 ( )( j 1,2, ,r)  −  j =  的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初 等因子的个数不足 n 时，就在后面补上适当个数的 1，使得凑成 n 个.设所得排列 为 ( ) ,( ) , ,( ) , ( 1,2, , ) 1, 1 j r n j n j j k j k j k  −  j  −  −   −  =  . 于是令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 d 1 2 i n i i ir k r k k i  =  −   −    −  =  , 则 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dn  就是 A 的不变因子. 这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则 它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有 相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子. 综上所述，即得 定理 8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子. 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因 子的求法比较，反而方便一些. 如果多项式 ( ), ( ) f 1  f 2  都与 ( ), ( ) g1  g2  互素，则. ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) f 1  g1  f 2  g2  = f 1  f 2   g1  g2  . 引理 设