§3.2可测集合 由定理3.1.1的4)可知:外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是:外测度对一些集合而言无法满足可加性,即人们可构造这样一族互不相 交的集合S(1,2…,满足mUs1<∑ms…,于是我们只有退而求 其次,探索可以限制在什么范围内满足可加性。 定义3.2.1若对任意T有mT=m(T∩E)+m(T∩CE),则称E为 lebesgue可测集。简称E可测。并称皿E为E的测度,简记为mE。 直观地讲:可测集E是具有良好分割性能的集合,它将任意一个集合分成两 部分,一部分在E内即T∩E,另一部分在E外即T∩E,两部分外测度之和恒等 于总体T的外测度。显然,这是为了满足测度可加性而作出的重要限制。 定理3.2.1E可测<=>对任意AcE,BCE有m(AUB)=mA+mB 证明“=〉”因为E可测,所以对任意AcE,B∈E令T=AUB,则 TnE=A,T∩CE=B,故mT=m(T∩E)+m(T∩CE),即 m(AUB)=m A+m B “<=”因为对任意AcE,BCE有m(AUB)=mA+mB,所以对任意T, 令A=T∩EE,B=T∩CE∈E,则由已知得m(AUB)=mA+mB 即mT=m(T∩E)+m(T∩CE)。 定理3.2.2E可测<=>CE可测。 证明因为C(CE)=E,于是 E可测<=>mT=m[T∩E]+m[T∩(CE)]§３.２ 可测集合 由定理３.１.１的 4)可知：外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是：外测度对一些集合而言无法满足可加性，即人们可构造这样一族互不相 交的集合 S i (i=1,2,...,N)满足 m* [U N n=1 S n ]＜∑= N n 1 m* S n ，于是我们只有退而求 其次，探索可以限制在什么范围内满足可加性。 定义３.２.１ 若对任意T有m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)，则称 E 为 Lebesgue 可测集。简称 E 可测。并称 m* E 为 E 的测度，简记为 mE。 直观地讲：可测集 E 是具有良好分割性能的集合，它将任意一个集合分成两 部分，一部分在 E 内即 T∩E，另一部分在 E 外即 T∩E c ，两部分外测度之和恒等 于总体 T 的外测度。显然，这是为了满足测度可加性而作出的重要限制。 定理３.２.１ E 可测<＝>对任意 A⊂ E，B⊂ E c 有 m* (A∪B)＝m* A＋m* B 证明 “＝>”因为 E 可测，所以对任意 A⊂ E，B⊂ E c 令 T＝A∪B，则 T∩E＝A，T∩CE＝B，故 m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)，即 m* (A∪B)＝m* A＋m* B “<＝”因为对任意 A⊂ E，B⊂ E c 有 m* (A∪B)＝m* A＋m* B，所以对任意 T， 令 A＝T∩E⊂ E，B＝T∩CE⊂ E c ，则由已知得 m* (A∪B)＝m* A＋m* B 即 m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)。 定理３.２.２ E 可测<＝>CE 可测。 证明 因为 C(CE)＝E，于是 E 可测<＝>m* T＝m* [T∩E]＋m* [T∩(CE)]