《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 §8、高阶线性微分方程 n阶线性微分方程： ym+B,(xym-+P,(x)ya-2+…+pn-(x)y'+P()y=f（ 特点：关于未知函数及其各阶导数都是一次的，其中f(x)称为自由项。 若f(x)≡0，称为n阶线性齐次微分方程，否则为n阶线性非齐次微分方程。特别： y+py+9y=0“二阶钱性齐次微分方程 y'+p(x)y'+qx)y=fx)“二阶线性非齐次微分方程 一.二阶线性齐次微分方程y+px)y+g(y=0(*)的解的结构 定理1、设y是线性齐次方程(*)的解，则对任意常数，y也是方程(*)的解 定理2、设片，片，是二阶线性齐次微分方程(*)的解，则对任意常数c,G,线性组合Gy+C 也是方程(*)的解。 问题：在定理1中，y=G以+2是方程(*)的解，是否一定是方程(*)的通解？如方程 y”-y=0,乃=e,片=2e均为其解，由定理1，y=c出+c2y2=(G+2c2)e*也是方 程的解，但实际上此解为y=ce,不可能是方程y”-y=0的通解。 定义、若存在一组不全为零的常数k,k,…,k,使得定义在区间I上的函数，，，八，的线性 组合为零，即ky+k当2+…+k八=0，则称为，…，八区间I上为线性相关的，否则 为线性无关的。 注：由定义不难得出，函数线性相关的充要条件是五=C,其中©是常数：线性无 关的充要条件是4≠c,或占=c) 定理3、设乃是线性齐次方程(*)的两个线性无关的解，则C+C是方程(*)的通 解，其中C,C,是两个独立的任意常数