D=lo,, dE d+ t, day d F/ds 9-1) 由此可见,求解的关键在于能否利用给定的变形条件,求出〃/和4“/。由于塑 性变形总是不均匀的,计算是比较困难的,通常可按均匀变形假设确定d 故变形功法又称为均匀变形功法 9.2极值原理及上限法 极值原理包括上限定理和下限定理,它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗 原理得出的,但各自分析问题的出发点不同。上限定理是按运动学许可速度场(主 要满足速度边界条件和体积不变条件)来确定变形载荷的近似解,这一变形载荷 它总是大于(理想情况下才等于)真实载荷,即高估的近似值,故称上限解;下 限定理仅按静力学许可应力场(主要满足力的边界条件和静力平衡条件)来确定 变形载荷的近似解,它总是小于(理想情况下才等于)真实载荷,即高低的近似 解,故称下限解(见图9-2所示)。 由于上限解所确定的载荷是高估的,这对于保证塑性变形过程的顺利进行 有利于选择设备和设计模具,而且设定一个比较接近实际金属流动行为的运动学 许可速度场比较易于办到,因为变形区内质点的流动景象直观、形象,也便于通 过网格法等直接观察,或用视塑性法等进行测量计算。因此,上限定理在金属塑 性加工上得到了广泛应用,不仅用来解平面应变问题和轴对称问题,而且也可以 解某些三维问题,如非轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。此外,还可用 于求解高速变形的温度场,以及金属材料的性能与组织关系等,故本章主要叙述 上限定理及其应用。 虚功原理:稳定平稳状态的变形体中,当给予变形体一几何约束所许可的微 小位移(因为该位移只是几何约束所许可,实际上并未发生,故称虚位移)时, 则外力在此虚位移上所作的功(称虚功),必然等于变形体内的应力在虚应变上 所作的虚应变功,其表达式为:  = + F T V e f f P P [ d d V  d u d F]/ d u （ 9-1） 由此可见，求解的关键在于能否利用给定的变形条件，求出 ij d 和 f d u 。由于塑 性变形总是不均匀的，计算 ij d 是比较困难的，通常可按均匀变形假设确定 ij d ， 故变形功法又称为均匀变形功法。 9. 2 极值原理及上限法 极值原理包括上限定理和下限定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗 原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。上限定理是按运动学许可速度场（主 要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷 它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解；下 限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定 变形载荷的近似解，它总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即高低的近似 解，故称下限解（见图 9-2 所示）。 由于上限解所确定的载荷是高估的，这对于保证塑性变形过程的顺利进行， 有利于选择设备和设计模具，而且设定一个比较接近实际金属流动行为的运动学 许可速度场比较易于办到，因为变形区内质点的流动景象直观、形象，也便于通 过网格法等直接观察，或用视塑性法等进行测量计算。因此，上限定理在金属塑 性加工上得到了广泛应用，不仅用来解平面应变问题和轴对称问题，而且也可以 解某些三维问题，如非轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。此外，还可用 于求解高速变形的温度场，以及金属材料的性能与组织关系等，故本章主要叙述 上限定理及其应用。 虚功原理：稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微 小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时， 则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上 所作的虚应变功，其表达式为：