经济数学基础 第4章多元函数的微分 例2设函数==(x,y)是由方程Sm(xy)+2=n(x+)确定的,求Ox 解:将函数==(x,y)代入原方程,得S(x)+[(x,y=sm+(x,y 两边同时对x求偏导数,视z为中间变量,得 ycos(xy)+2=-= cos(x+=)(1+-) 2=--cos(x+3)=cos(x+=)-ycos(xy) 整理得 az cos(xy)-cos(x+=) cos(x +=)-2 三、拉格朗日乘数法 例1用拉格朗日乘数法解下面问题:欲围一个面积为60平方米的矩形场地, 正面所用材料每米造价10元,其余三面每米5元.求场地长、宽各为多少米时, 所用材料费最少? 解:设场地长、宽分别为x(米,则有xy=60 所用材料费用S=10x+5(2y+x)=15x+10y(元) 因此,问题是在x=60的条件下,求S(xy)的最小值 为此设拉格朗日函数为(xy,A)=15x+10y+(xy-60) 求L(xy)分别对x、y、的偏导数,并令其为0,得 135经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——135—— 例 2 设函数 z = z(x, y) 是由方程 sin( ) sin( ) 2 xy + z = x + z 确定的，求 x z   ． 解：将函数 z = z(x, y) 代入原方程，得 sin( )  ( , ) sin  ( , ) 2 x y + z x y = x + z x y 两边同时对 x 求偏导数，视 z 为中间变量，得 cos( ) 2 cos( )(1 ) x z x z x z y x y z   = + +   + 整理得， 2 cos( ) cos(x z) y cos(x y) x z x z x z z = + −   − +   x z z y xy x z x z cos( ) 2 cos( ) cos( ) + − − + =   三、拉格朗日乘数法 例 1 用拉格朗日乘数法解下面问题：欲围一个面积为 60 平方米的矩形场地， 正面所用材料每米造价 10 元，其余三面每米 5 元．求场地长、宽各为多少米时， 所用材料费最少？ 解：设场地长、宽分别为 x,y(米)，则有 xy=60. 所用材料费用 S = 10x + 5(2y + x) = 15x +10y （元） 因此，问题是在 xy = 60 的条件下，求 S(x, y) 的最小值． 为此设拉格朗日函数为 L(x, y,) = 15x +10y + (xy − 60) 求 L(x, y,) 分别对 x、 y 、 的偏导数，并令其为 0，得