银川科技职业学院《高慈数学》教未 第九章重积分 注：积分还可以写成∬o=x, 解法2.也可把D看成是Y-一型区域：1≤<2，x<2.于是 川a=可w==2y-登-b2-女-g 例2.计算川W+x2-y严do,其中D是由直线=1、=-1及=x所围成的 闭区域 解画出区域D,可把D看成是X--型区域：-1≤≤1，x≤1.于是 川i+2-严do=4+x-yP -3I0+x2-y2=-0-1a =-6e-=3 也可D看成是Y-型区域：-1≤s1,-1≤y.于是 ∬1+-do=d+2-k. 例3计算川xdo，其中D是由直线=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域。 解积分区域可以表示为D=D+D2, 其中D:0≤x≤1，-√≤y≤F;D2:1≤x≤4,2≤y≤.于是 ∬o=aw+4w 积分区域也可以表示为D:-1≤<2，y≤x≤42.于是 川o=9=号y2=b0+2- =片++22-名=58 讨论积分次序的选择. 例4求两个底圆半径都等于p的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=p2及x2+2=p2. 利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积，然后 第6页银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 6 页 注 积分还可以写成        2 1 1 2 1 1 x x D xyd dx xydy xdx ydy  解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域 1y2 yx2  于是     2 1 2 [ ] y D xyd xydx dy       2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2    y y  例 2 计算 y x y d D    2 2 1  其中 D 是由直线 y1、x1 及 yx 所围成的 闭区域 解 画出区域 D 可把 D 看成是 X型区域 1x1 xy1 于是          1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d dx y x y dy          1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 2 1 ( 1) 3 2 1 0 3     x dx  也可 D 看成是 Y型区域：1y1 1x<y  于是           1 1 1 2 2 2 2 1 1 y D y x y d ydy x y dx  例 3 计算 xyd D   其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y 2 x所围成的闭区域 解 积分区域可以表示为 DD1+D2 其中 D : 0 x1,  x  y  x 1  D : 1 x4, 2 y  x 2  于是          4 1 2 1 0 x x x x D xyd dx xydy dx xydy  积分区域也可以表示为 D 1y2 y 2 xy2 于是       2 1 2 2 y y D xyd dy xydx    2 1 2 2 ] 2 2 [ y dy x y y     2 1 2 5 [ ( 2) ] 2 1 y y y dy 8 5 ] 5 6 2 3 4 4 [ 2 1 2 1 6 3 2 4       y y y y  讨论积分次序的选择 例 4 求两个底圆半径都等于  的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x 2 y 2  2 及 x 2 z 2  2  利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后