银川科技职业学院《高签数学》教未 第九章重积分 $9.2二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X-型区域： D:p1(x)sp2(x),a≤r≤b. Y-型区域： D:h(x)2(x),c≤d. 混合型区域： 设fx,y)≥0，D={x,yp1x)s≤p2(x,a≤x≤b. 此时二重积分川fx,o在几何上表示以曲面x,)为顶，以区域D为 D 底的曲顶柱体的体积. 对于xo∈[a,b],曲顶柱体在x=xo的截面面积为以区间[p1(xo,2(xo]为底、 以曲线=xo,)为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为 4=w 根据平行截面面积为己知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为 r-4=c 即 =∬ia=rh 可记为 ca=心aw 类似地，如果区域D为Y-型区域： D:4(x)sy2(x),c≤d, 则有 f.ya. 例l.计算川3o,其中D是由直线=l、x=2及=x所围成的闭区域. 解：画出区域D 解法1.可把D看成是X-型区域：1≤x<2,1sSx.于是 小do=y=tx艺=x-xk=-=g 第5页银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 5 页 §9 2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X型区域 D  1(x)y2(x) axb  Y 型区域 D  1(x)y2(x) cyd  混合型区域 设 f(x y)0 D{(x y)| 1(x)y2(x) axb} 此时二重积分 f x y d D  ( , ) 在几何上表示以曲面 zf(x y)为顶 以区域 D 为 底的曲顶柱体的体积 对于 x0[a b] 曲顶柱体在 xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、 以曲线 zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为   ( ) ( ) 0 0 2 0 1 0 ( ) ( , ) x x A x f x y dy    根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为   b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x    [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1    即 V f x y d f x y dy dx b a x x D    ( , )  [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1     可记为     b a x x D f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , )     类似地 如果区域 D 为 Y 型区域 D  1(x)y2(x) cyd  则有     d c y y D f x y d dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , )     例 1 计算 xyd D   其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围成的闭区域 解 画出区域 D 解法 1 可把 D 看成是 X型区域 1x2 1yx  于是     2 1 1 [ ] x D xyd xydy dx       2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2    x x 