19.提示:利用行列式的性质∑akA1k=n,|A 20.提示:充分性:由A的行向量组与B的行向量组等价可推出存在矩阵C,D 使得A=CB,B=DA。必要性:此时Ax=0与x=0同解,由此可得到 rank(A)=rank 则B的行向量组可以被A的行向量组线性表示。同样方法 B 可证明A的行向量组可以被B的行向量组线性表示。 21.提示: rankI<rank(A)+rank(B)<n。 22.提示:说明 1B1+P2 2 是Ax=b的解,a1+a2,a2+a3,…,an+a1是Ax=0的m 个线性无关的解 23.提示:验证A2=A,从而说明A不可逆。 线性空间与线性变换练习题 §1线性空间 1.是线性空间:维数为1,(,1…,1)是一个基。 10)(01 2.是线性空间;维数为3 是一个基 0-1)(0-1 3.dmV1=m(n+1),dimV2==m(n-1)。 4 是一个基,维数为 5.(1)k=1时,dmN(4)=2,51=(1-1,1,0),点2=(0,-1,0,1)是一个基; k≠1时,dmN(A)=1,51=(-1,0.,-1,1)是一个基 (2)k=1时,dimN(4)=1,51=(-1,1,1)是一个基; k≠1时,dmN(A)=0,无基 (3)k=1时, dim Span{a1,a2,a3,a1}=2,a1,a2是一个基; k≠1时, dim Span{a1,a2,an3a4}=3,a1,a2,a3是一个基。 6.(1)(2,-1)y;(2)0-10:(3)(4.-2,0y;(4)(3-2,1)。 00 7.(1)111|:(2)(3.3)2;(3)c(3,2,-3)(c是任意常数)。 8.(1)提示:将a1,a2,a3与b,b2,b2的关系用矩阵表示,该矩阵可逆;8 19．提示：利用行列式的性质    n k ai k Aj k 1   i j | A|。 20．提示：充分性：由 A 的行向量组与 B 的行向量组等价可推出存在矩阵 C ，D 使得 A  CB ， B  DA 。必要性：此时 Ax  0 与 x 0 B A          同解，由此可得到 rank (A)  rank         B A ，则 B 的行向量组可以被 A 的行向量组线性表示。同样方法 可证明 A 的行向量组可以被 B 的行向量组线性表示。 21．提示：rank         B A rank (A)  rank (B)  n 。 22．提示：说明 2 β1  β2 是 Ax  b 的解， 1 2 2 3 1 α  α , α  α ,  , αm  α 是 Ax  0 的 m 个线性无关的解。 23．提示：验证 A  A 2 ，从而说明 A 不可逆。 线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．是线性空间；维数为 1， T (1, 1,  , 1) 是一个基。 2．是线性空间；维数为 3；         0 1 1 0 ，         0 1 0 1 ，         1 1 0 0 是一个基。 3． ( 1) 2 1 dimV1  n n  ， ( 1) 2 1 dimV2  n n  。 4． 1 2 3 a , a , a 是一个基，维数为 3。 5．（1） k 1 时， dim N(A)  2， T (1, 1,1, 0) ξ1   ， T (0, 1, 0,1) ξ 2   是一个基； k  1 时， dim N(A) 1， T ( 1, 0, 1,1) ξ1    是一个基。 （2） k 1 时， dim ( ) 1 T N A ， T ( 1,1,1) ξ1   是一个基； k  1 时， dim ( )  0 T N A ，无基。 （3） k 1 时， dim Span{ , , , } a1 a2 a3 a4  2， 1 a ， 2 a 是一个基； k  1 时， dim Span{ , , , } a1 a2 a3 a4  3， 1 a ， 2 a ， 3 a 是一个基。 6．（1） T (2, 1, 1) ；（2）              1 0 1 0 1 0 2 3 4 ；（3） T (4,  2, 0) ；（4） T (3,  2, 1) 。 7．（1）           1 1 1 1 1 1 1 0 0 ；（2） T (1, 3, 3) ；（3） T c(3, 2,  3) （ c 是任意常数）。 8．（1）提示：将 1 a ， 2 a ， 3 a 与 1 b ， 2 b ， 3 b 的关系用矩阵表示，该矩阵可逆； （2） （ ）T  3, 2, 2