§121r函数的定义 因此,对于z平面上右半平面的任一区域,有Rez=x≥6>0 而/t°-at收敛,故积分/e-t2-at在z平面上右半平面的任一闭区域中一致收敛,因此在右 半平面解析 把两部分合起来,就得到 T(2 tt2-ldt 在z的右半平面解析.口 ★积分路径的修改 上面的积分定义中,积分路径并不需要限定在实轴上,而可修改为 Rez>0 积分路径L是t平面上从t=0出发的半射线,argt=a为常数,同a|<π/2 取围道C如图122,应用留数定理讨论复变积分pe-t-1ld,就能证得这个 结论 进一步修改:积分路径L可以是t平面上从t=0出发的任意分段光滑曲线,只要最后以 Ret→+∞的方式趋于无穷远点即可 解析延拓 上面介绍的函数的定义只适用于Rez>0.注意积分的第二部分是在全平面解析的 因此,为了延拓到z的全平面,只要用适当的方法将积分第一部分延拓到全平面即可 比较直接的方法是将指数函数作 Taylor展开 这个结果是在Rez>0的条件下得到的.但等式左端在右半平面解析,而右端的级数显然在全平 面上(z≠0,-1,-2,…)一致收敛,因而在全平面解析(z≠0,-1,-2,…).这说明,等式右端的级 数表达式就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓 (-)Wu Chong-shi §12.1 Γ ☎✆➉➊➋ ✝ 2 ✞ ❅ ⑧ ✬t✉ z ❞❡④➃➄❞❡✗ ✈ ❆⑥⑦✬❷ Re z = x ≥ δ > 0 ✬  e −t t z−1   ≤ t δ−1 , ➌ Z 1 0 t δ−1 dt rs✬③✥✦ Z 1 0 e −t t z−1 dt ❋ z ❞❡④➃➄❞❡✗ ✈ ❆⑤⑥⑦ ✮ ❆qrs✬❅ ⑧❋➃ ➄ ❞❡✴❢✵ ◆◗❘✦➍➎❙✬♥➂➏ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1 dt ❋ z ✗➃➄❞❡✴❢✵ F ✶✷➐➑➒➓➔ • ④❡✗ ✥✦✛✜ ✮✬✥✦→➣❵↔♣▼↕✛❋➙➛④✬➌ ❤➜➝★ Γ (z) = Z L e −t t z−1dt, Re z > 0, ✥✦→➣ L ✢ t ❞❡④➞ t = 0 ➟➠✗➄➡➢✬ arg t = α ★ ✙✖✬ |α| < π/2 ✵ ➤ ➥➦ C ➧❹ 12.2 ✬ ✱✚ ➨✖✛✳❯❱➩✯✥✦I C e −t t z−1dt, ♥➫❥ ➂ ✣✤ ➭❱✵ ❺ 12.2 • ➯❆➲➜➝➳✥✦→➣ L ❤ ▲ ✢ t ❞❡④➞ t = 0 ➟➠✗✈✇✦➵➸➺ ➻ ➢ ✬♦▼ ✘➼▲ Re t → +∞ ✗➽➾➚✉■❏➪⑩➶❤✵ F ❁❂➹➘ ➴ ➷➬➮➱ Γ ✃❐➱❒❮ ❰ÏÐÑ Re z > 0 ✵ ÒÓÔÕ➱ Ö×ØÕÙÚÛÜ ➷ÝÞ➱✬ ßà✬á âãäå z ➱ÛÜ ➷✬❰æÐÏ ç➱èéêÔÕ ÖëØÕãäåÛÜ ➷ìí✵ îïðñ✗➽ò✢óô✖✕✖❜ Taylor õö Z 1 0 e −t t z−1dt = X∞ n=0 (−) n n! Z 1 0 t n+z−1dt = X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z . ✣✤➭÷✢❋ Re z > 0 ✗øùú➂➏✗✵ûü➾ý●❋➃➄❞❡✴❢✬➌ ➃●✗þ✖❨❩❋ ❝❞ ❡④ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ❆qrs✬❅➌ ❋ ❝❞❡✴❢ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ✵ ✣ÿ ❦✬ ü➾➃●✗þ ✖ ♠￾ ➾ ♥ ✢ý●✥✦♠￾ ➾❋❝❞❡④✗✴❢✁✂✵ Γ (z) = Z ∞ 1 e −t t z−1dt + X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z .