微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 现/d,可理解为向量 ∑()+((22-2款)+(款+款) dwl dw12 d24 X2. X4 相对于曲面∑CR4的流量. 事例4( Hamilton力学中的 Liouville定理).再研究 Liouville公式,如图??所示,在相空间 中利用 Stoke公式 (-1)2 dw 式中dim∑=2,∑cR2m+1 w= pdq -Hdt, da=dp∧dq-dH∧da 可计算得 dw= 0 故有 pdq-Hdt+l。pdq-Hdt=0 亦即,有 paq 再由 Stokes公式,有 pq=dp∧dg=常数 3建立路径微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 现 ∫ Σ dω 可理解为向量 ∑ 4 α=1 (−1)4+α (dω)αiα = ( ∂ω24 ∂X3 − ∂ω23 ∂X4 − ∂ω34 ∂X2 ) i1 + ( ∂ω13 ∂X4 − ∂ω14 ∂X3 + ∂ω34 ∂X1 ) i2 + ( ∂ω14 ∂X2 − ∂ω12 ∂X4 − ∂ω24 ∂X1 ) i3 + ( ∂ω12 ∂X3 − ∂ω13 ∂X2 + ∂ω23 ∂X1 ) i4 相对于曲面 Σ ⊂ R 4 的流量. 事例 4 (Hamilton 力学中的 Liouville 定理). 再研究 Liouville 公式, 如图??所示. 在相空间 中利用 Stoke 公式 (−1)2 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω, 式中 dim Σ = 2, Σ ⊂ R 2m+1 , ω = pdq − Hdt, dω = dp ∧ dq − dH ∧ dt. 可计算得 ∫ Σ dω = 0, 故有 ∫ T Γ pdq − Hdt + ∫ ◦ Γ pdq − Hdt = 0, 亦即, 有 ∫ T Γ pdq = 常数. 再由 Stokes 公式, 有 ∫ T Γ pdq = ∫ T S dp ∧ dq = 常数. 3 建立路径 10