微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 现/a可理解为向量 (1+Wai=w1i1-w2i2+w3i3E 相对于曲面的流量.而/du为上述向量的散度在体积y上的积分.现情形,流形上的 Stokes公式为微积分中 Gauss-Ostrogradskii公式 事例3(R4中三维曲面上的 Stokes公式).当dim∑=3,∑cR+,有 Stokes公式 WaNdA°∧dX W1adX AdX2+w13dxAdx+W14dXAdx4+W23dX2Adx3 +wo4dX2A dx4+w34dXAdX 则有 dw 8Fdx3xaridxadxAdxt(ax2 edX+ Orix)Adx Ada ordo adx Adry andri Mundra)dx2Adx3 dwt dr3dx)adx dry du34dx1+Ou/34 OX OF2dX2)∧dX3∧dX dw23 awe aw ax4 ax ar)dx2Adrndr4 dw13 dwi ax af ar/ dxladx3adx4 dX1∧dX2∧d ax4 aX2 aX dw12 0X3 dX1∧dX2∧d (dw)ldx2AdxAdx+(dw)2dx Adx Adx+(dw )3dx AdxAdx4 +(du)4 dx AdX2∧dX微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 现 ∫ ∂V ω 可理解为向量 ∑ 3 α=1 (−1)3+αωαiα = ω1i1 − ω2i2 + ω3i3 ∈ R 3 相对于曲面 ∂V 的流量. 而 ∫ V dω 为上述向量的散度在体积 V 上的积分. 现情形, 流形上的 Stokes 公式为微积分中 Gauss-Ostrogradskii 公式. 事例 3 (R 4 中三维曲面上的 Stokes 公式). 当 dim Σ = 3, Σ ⊂ R 4 , 有 Stokes 公式 (−1)3 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω. 设 ω = ∑ 16α<β64 ωαβdXα ∧ dXβ = ω12dX1 ∧ dX2 + ω13dX1 ∧ dX3 + ω14dX1 ∧ dX4 + ω23dX2 ∧ dX3 + ω24dX2 ∧ dX4 + ω34dX3 ∧ dX4 , 则有 dω = ( ∂ω12 ∂X3 dX3 + ∂ω12 ∂X4 dX4 ) ∧ dX1 ∧ dX2 + ( ∂ω13 ∂X2 dX2 + ∂ω13 ∂X4 dX4 ) ∧ dX1 ∧ dX3 + ( ∂ω14 ∂X2 dX2 + ∂ω14 ∂X3 dX3 ) ∧ dX1 ∧ dX4 + ( ∂ω23 ∂X1 dX1 + ∂ω23 ∂X4 dX4 ) ∧ dX2 ∧ dX3 + ( ∂ω24 ∂X1 dX1 + ∂ω24 ∂X3 dX3 ) ∧ dX2 ∧ dX4 + ( ∂ω34 ∂X1 dX1 + ∂ω34 ∂X2 dX2 ) ∧ dX3 ∧ dX4 = ( ∂ω23 ∂X4 − ∂ω24 ∂X3 + ∂ω34 ∂X2 ) dX2 ∧ dX3 ∧ dX4 + ( ∂ω13 ∂X4 − ∂ω14 ∂X3 + ∂ω34 ∂X1 ) dX1 ∧ dX3 ∧ dX4 + ( ∂ω12 ∂X4 − ∂ω14 ∂X2 + ∂ω24 ∂X1 ) dX1 ∧ dX2 ∧ dX4 + ( ∂ω12 ∂X3 − ∂ω13 ∂X2 + ∂ω23 ∂X1 ) dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 =: (dω)1dX2 ∧ dX3 ∧ dX4 + (dω)2dX1 ∧ dX3 ∧ dX4 + (dω)3dX1 ∧ dX2 ∧ dX4 + (dω)4dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 . 9