微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 2应用事例 事例1(3中二维曲面上的 Stokes公式).当dim∑=2,CR3,有 Stokes公式 W=Wldx +w2dX2+wdx 则有 dw=(er2dxix raxa)Adx+arida ra)aax 0X3 aw aw +avid+avodx ndx awy dwl (ox2 ax3 dx2Adx+axi ar/dx ndr au ax1 aX2 dX1∧dX (dw)1dx ndX+(dw)2dX Adx+(dw)3dX Adx 现/da,可以解释为向量 ax2 ar3) i+/draws dw3 dw2 dwdw a=1 22 axl az2 02/R3 相对于曲面∑的流量而/a可解释为向量 +ws 沿∂∑做功形式的曲线积分.现情形,流形上的 Stokes公式为微积分中R3中 Stokes公式 事例2(R3中体积流形上的 Stokes公式).当dimy=3,ycR3,有 Stokes公式 u1dX2AdX3+a2dX∧dX dX AdX 则有 Imep 3,Ou2 dX1AdX2∧dX3+ Adxadx+3dxndx dX2 ax1 aX2aX3 dxadx-AdX微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 2 应用事例 事例 1 (R 3 中二维曲面上的 Stokes 公式). 当 dim Σ = 2, Σ ⊂ R 3 , 有 Stokes 公式 (−1)2 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω. 设 ω = ω1dX1 + ω2dX2 + ω3dX3 , 则有 dω = ( ∂ω1 ∂X2 dX2 + ∂ω1 ∂X3 dX3 ) ∧ dX1 + ( ∂ω2 ∂X1 dX1 + ∂ω2 ∂X3 dX3 ) ∧ dX2 + ( ∂ω3 ∂X1 dX1 + ∂ω3 ∂X2 dX2 ) ∧ dX3 = ( ∂ω3 ∂X2 − ∂ω2 ∂X3 ) dX2 ∧ dX3 + ( ∂ω3 ∂X1 − ∂ω1 ∂X3 ) dX1 ∧ dX3 + ( ∂ω2 ∂X1 − ∂ω1 ∂X2 ) dX1 ∧ dX2 =: (dω)1dX2 ∧ dX3 + (dω)2dX1 ∧ dX3 + (dω)3dX1 ∧ dX2 . 现 ∫ Σ dω 可以解释为向量 ∑ 3 α=1 (−1)3+α (dω)αiα = ( ∂ω3 ∂X2 − ∂ω2 ∂X3 ) i1 + ( ∂ω1 ∂X3 − ∂ω3 ∂X1 ) i2 + ( ∂ω2 ∂X1 − ∂ω1 ∂X2 ) i3 =          i1 i2 i3 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 ω1 ω2 ω3          ∈ R 3 相对于曲面 Σ 的流量. 而 ∫ ∂Σ ω 可解释为向量 ω1i1 + ω2i2 + ω3i3 沿 ∂Σ 做功形式的曲线积分. 现情形, 流形上的 Stokes 公式为微积分中 R 3 中 Stokes 公式. 事例 2 (R 3 中体积流形上的 Stokes 公式). 当 dim V = 3, V ⊂ R 3 , 有 Stokes 公式 (−1)3 ∫ ∂V ω = ∫ V dω. 设 ω = ω1dX2 ∧ dX3 + ω2dX1 ∧ dX3 + ω3dX1 ∧ dX2 , 则有 dω = ∂ω1 ∂X1 dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 + ∂ω2 ∂X2 dX2 ∧ dX1 ∧ dX3 + ∂ω3 ∂X3 dX3 ∧ dX1 ∧ dX2 = ( ∂ω1 ∂X1 − ∂ω2 ∂X2 + ∂ω3 ∂X3 ) dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 . 8