微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 由此,可有 ∑(-1)2 Vow) 综上所示,可得流形上 Stokes的以下形式 定理1.4(流形上 Stokes公式的旋度流量形式).设ω(X)是Rm中m-1维可定向曲面/流 形∑上的(m-2)-形式,则有 此处引入∈Am-2(Rm)的旋度 curly∈Rm,定义为 1 )(ⅴau) 证明 u=(-1)m-1/d=(-1)m-1 ∑(-1)m+A (n,-∑(-1)3 (n, curlu)RI 相对于流形上 Stokes公式的一般形式,旋度流量形式更可视作微积分中 Stokes公式的推广 形式,但旋度流量形式仅适用于有限维 Euclid空间上的曲面/流形.按上所述,对Rm中m-1 维可定向曲面/流形∑上的(m-2)-形式c(X),有关系式 (1)mta(dw)aia=(-1)m- curle Rm. 如对∈A2(R4),计算其旋度为 curly (V∞) 计算其相对于典则基向量的分量,得 dab aw34 aw24 dw23 eluc 34 aw13 次x2=数 1≤a<B≤4 J23 aw13 aw 0X20 1≤a<B≤4 ①郭仲衡著《张量(理论和应用)》中将形式的外微分作为“旋转”,对其再作用 Hodge星算子而获得“旋度”,藉此 推广微积分中旋度算子的定义.本书基于曲面上第二类积分的流量解释推导出Rm中(m-2)-形式的旋度(为Rn 中的向量),并给出了流形上 Stokes公式的旋度流量形式微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 由此, 可有 − ∑m λ=1 (−1)λΩλiλ = 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∇ ⊗ ω). 综上所示, 可得流形上 Stokes 的以下形式. 定理 1.4 (流形上 Stokes 公式的旋度流量形式). 设 ω(X) 是 R m 中 m−1 维可定向曲面/流 形 Σ 上的 (m − 2)-形式, 则有 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ (n, curl ω)Rm , 此处引入 ω ∈ Λ m−2 (R m) 的旋度curl ω ∈ R m, 定义为 curl ω , 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∇ ⊗ ω) ➀. 证明 ∫ ∂Σ ω = (−1)m−1 ∫ Σ dω = (−1)m−1 ∫ Σ ( n, ∑m λ=1 (−1)m+λΩλiλ ) Rm = ∫ Σ ( n, − ∑m λ=1 (−1)λΩλiλ ) Rm = ∫ Σ ( n, 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) ω ) Rm =: ∫ Σ (n, curl ω)Rm . 相对于流形上 Stokes 公式的一般形式, 旋度流量形式更可视作微积分中 Stokes 公式的推广 形式, 但旋度流量形式仅适用于有限维 Euclid 空间上的曲面/流形. 按上所述, 对 R m 中 m − 1 维可定向曲面/流形 Σ 上的 (m − 2)- 形式 ω(X), 有关系式 ∑m α=1 (−1)m+α (dω)αiα = (−1)m−1 curl ω ∈ R m. 如对 ω ∈ Λ 2 (R 4 ), 计算其旋度为 curl ω , 1 (4 − 2)!ε : (∇ ⊗ ω) = 1 2!eλµαβ ∂ωαβ ∂Xµ iλ = ∑ 16α<β6m eλµαβ ∂ωαβ ∂Xµ iλ. 计算其相对于典则基向量的分量, 得 ∑ 16α<β64 e1µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = ∂ω34 ∂X2 − ∂ω24 ∂X3 + ∂ω23 ∂X4 , ∑ 16α<β64 e2µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = − ∂ω34 ∂X1 + ∂ω14 ∂X3 − ∂ω13 ∂X4 , ∑ 16α<β64 e3µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = ∂ω24 ∂X1 − ∂ω14 ∂X2 + ∂ω12 ∂X4 , ∑ 16α<β64 e4µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = − ∂ω23 ∂X1 + ∂ω13 ∂X2 − ∂ω12 ∂X3 . ➀ 郭仲衡著《张量 (理论和应用)》中将形式的外微分作为 “旋转”, 对其再作用 Hodge 星算子而获得 “旋度”, 藉此 推广微积分中旋度算子的定义. 本书基于曲面上第二类积分的流量解释推导出 R m 中 (m − 2)-形式的旋度 (为 R m 中的向量), 并给出了流形上 Stokes 公式的旋度流量形式. 7