微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 13流形上 Stokes公式的旋度流量形式 般地,考虑u∈Am-2(Rm),有表达式 1≤a<B≤m 所以有 dX∧dX1∧…,dXa∧……∧dXBA……AdXm 1≤a<8≤m …)3 dX1∧…dXa∧……∧dX aX adX∧…dX°A…AdXA…AdXm 记du ∑dx1A…Adx2A…AdXm∈Am-1(Rm),故有 2入 另考虑 8ta1⑧ 2 1 相对于i的分量可计算为 1<a1<…<am-2≤mo∈Pm-2 dwa1…am-2 1-a…)-mOX微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 1.3 流形上 Stokes 公式的旋度流量形式 一般地, 考虑 ω ∈ Λ m−2 (R m), 有表达式 ω = ∑ 16α<β6m ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m dX1 ∧ · · · d ◦ Xα ∧ · · · ∧ d ◦ Xβ ∧ · · · ∧ dXm, 所以有 dω = ∑ 16α<β6m ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m ∂Xγ dXγ ∧ dX1 ∧ · · · d ◦ Xα ∧ · · · ∧ d ◦ Xβ ∧ · · · ∧ dXm = ∑ 16α<β6m [ (−1)α−1 ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m ∂Xα dX1 ∧ · · · dXα ∧ · · · ∧ d ◦ Xβ ∧ · · · ∧ dXm + (−1)β ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m ∂Xβ dX1 ∧ · · · d ◦ Xα ∧ · · · ∧ dXβ ∧ · · · ∧ dXm ] . 记 dω = ∑m λ=1 ΩλdX1 ∧ · · · ∧ d ◦ Xλ ∧ · · · ∧ dXm ∈ Λ m−1 (R m), 故有 Ωλ = ∑ 16α<λ (−1)α−1 ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ λ···m ∂Xα + ∑ λ<α6m (−1)α ∂ω 1··· ◦ λ··· ◦ α···m ∂Xα . 另考虑 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∇ ⊗ ω) = 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∂ωα1···αm−2 ∂Xµ iµ ⊗ iα1 ⊗ · · · ⊗ iαm−2 ) = 1 (m − 2)!eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ iλ, 相对于 iλ 的分量可计算为 1 (m − 2)!eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ = 1 (m − 2)! ∑ 1<α1<···<αm−26m ∑ σ∈Pm−2 eλµσ(α1)···σ(αm−2) ∂ωσ(α1)···σ(αm−2) ∂Xµ = 1 (m − 2)! ∑ 1<α1<···<αm−26m ∑ σ∈Pm−2 (sgn σ) 2 eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ = ∑ 1<α1<···<αm−26m eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ = ∑ 16µ<λ e λµ1··· ◦ µ··· ◦ λ···m ∂ω 1··· ◦ µ··· ◦ λ···m ∂Xµ + ∑ λ<µ6m e λµ1··· ◦ λ··· ◦ µ···m ∂ω 1··· ◦ λ··· ◦ µ···m ∂Xµ = ∑ 16µ<λ (−1)λ+µ ∂ω 1··· ◦ µ··· ◦ λ···m ∂Xµ + ∑ λ<µ6m (−1)λ+µ ∂ω 1··· ◦ λ··· ◦ µ···m ∂Xµ . 6