微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 当O∑∩UB≠时,有 pWb 0)dx∧…Adr φa(∑nUa) drg d(gwb) (aB)dxB B (∑∩Ua) (xa)dbA…∧d (-1)an(x)drA…∧drB, 上式的第一项可以计算为 (X)=2t)10ua (C.)个3[-2a) ua(xb,…,x=1,…,) 图)drb 最后的等式由于 ( B)=0 第二项为 (x)drA……∧drB °a2(nUa)=l dr吉A…Adm-1(-1y 0)]drbA…∧dr =0drbA…Adra-1 1,xB=0dxA…Ad微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 2. 当 ∂Σ ∩ Uβ ̸= ∅ 时, 有 ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ϕ ∗ βωβ = ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ∑m i=1 ωβ,i(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ d ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β = ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β , ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ) d(ϕ ∗ βωβ) = ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β = m∑−1 i=1 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β + ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)m−1 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β , 上式的第一项可以计算为 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β , i = 1, · · · , m − 1 = (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ) dx 1 β ∧ · · · ∧ ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β [∫ 1 −1 (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx i β ] = (−1)i−1 (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ) [ ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = 1, · · · , xm β ) − ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = −1, · · · , xm β ) ] dx 1 β ∧ · · · ∧ d ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β = 0. 最后的等式由于 ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = ±1, · · · , xm β ) = 0, i = 1, · · · , m − 1. 第二项为 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)m−1 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β = (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β [ (−1)m−1 ∫ 1 0 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx m β ] = (−1)m−1 (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) [ ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 1) − ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)] dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β = (−1)m (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β = (−1)m ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β . 5