微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 册.设{6a(X)∈(E;R)}△=1为相对于∑的有限开覆盖{Ua}△=1的一个单位1分解,则有 Ba(x)w(x) Ba(Xw(x) X a=1 按积分的线性性,仅需证明成立关系式 dw a∑∩Ua ∑∩Ua 再由 Po(dwa)= d(iowa), a(enua ∑∩U 故需证 d(owwa) Da(aena) 中a(EnUa) 以下分两种情况考虑: 1.当∑∩Ua=时,自然有 (∑nUa) 设a的φ拉回具有如下形式 1x1∧……Ad∧…,∧dxm 式中a(x)lann=0.由 d(o)=∑0(xn) drsn dron…AdaA…Adra . (aa)dr 有 (-1)bsa)、山 drl∧…∧daA…∧dxa i=1 m Ori(aa)dz 2∧ 上式中最后的等式是由于 ua,i(xa,…,xa=±1,…,xa)=0,微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 册. 设 {θα(X) ∈ C ∞(Σ; R)} N α=1 为相对于 Σ 的有限开覆盖 {Uα} N α=1 的一个单位 1 分解, 则有 ω(X) = (∑ N α=1 θα(X) ) ω(X) = ∑ N α=1 θα(X)ω(X) =: ∑ N α=1 ωα(X). 按积分的线性性, 仅需证明成立关系式 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ Σ∩Uα dωα, α = 1, · · · , N 再由 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα, ∫ Σ∩Uα dωα = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) ϕ ∗ α(dωα) = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα), 故需证 ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα), α = 1, · · · , N. 以下分两种情况考虑: 1. 当 ∂Σ ∩ Uα = ∅ 时, 自然有 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα = 0. 设 ωα 的 ϕ ∗ α 拉回具有如下形式: ϕ ∗ αωα = ∑m i=1 ωα,i(xα)dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α , 式中 ωα,i(xα)   ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) = 0. 由 d(ϕ ∗ αωα) = ∑m i=1 ∂ωα,i ∂xs α (xα)dx s α ∧ dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α = ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx 1 α ∧ · · · ∧ dx m α , 有 ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα) = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα)=Im ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx 1 α ∧ · · · dx m α = ∑m i=1 (−1)i−1 ∫ Im−1 dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α [∫ Im ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx i α ] = ∑m i=1 (−1)i−1 ∫ Im−1 [ ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = 1, · · · , xm α ) − ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = −1, · · · , xm α ) ] dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α = 0. 上式中最后的等式是由于 ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = ±1, · · · , xm α ) = 0, i = 1, · · · , m. 4