微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 1. supp Bi(e)C Ui, i=1 2.61(x)∈[0,1,x∈M 3.∑(x)=1,vx∈M 基于相对于地图册的单位1分解,一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐 标卡所覆盖的流形上的一部分区域;另一方面,可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形.基 于单位1分解,可将??,??中按坐标卡定义的流形上第一类,第二类积分推广至整个流形 1.2流形上的 Stokes公式 m+1 微分流形∑ Ug=o YR+1) Ua Rm+1中方块Lm+1 U∩∑ Rm+中方块 a (ana)(Uan罗) φa(Ua∩∑) 图2:流形上 Stokes公式示意 定理13(流形上的 Stokes公式).设u(X)是Rm+1中m维可定向曲面/流形∑上的 (m-1)-形式,则有 ∂∑的定向由流形M诱导 证明如图2所示,设{(xa)∈6x(Lm+1;Ua=:a(Lm+1)}a=1为∑cRm+1的一个地图 oA: Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol 2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 199微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 1. supp θi(x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 2. θi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ M, 3. ∑ N i=1 θi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ M. 基于相对于地图册的单位 1 分解, 一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐 标卡所覆盖的流形上的一部分区域; 另一方面, 可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形. 基 于单位 1 分解, 可将??, ??中按坐标卡定义的流形上第一类, 第二类积分推广至整个流形➀. 1.2 流形上的 Stokes 公式 X1 Xm Xm+1 O 微分流形 Σ Uα ∩ Σ Uβ ∩ Σ Uβ ∩ ∂Σ Uα = ϕα(Im+1) Uβ = ϕβ(Im+1) ∂Σ x 1 α xm α xm+1 α ϕ −1 α (Uα ∩ Σ) R m+1中方块 Im+1 O x 1 β xm β x m+1 β ϕ −1 β ϕ (Uα ∩ Σ) −1 β (Uα ∩ ∂Σ) R m+1 中方块 Im+1 O 图 2: 流形上 Stokes 公式示意 定理 1.3 (流形上的 Stokes 公式). 设 ω(X) 是 R m+1 中 m 维可定向曲面/流形 Σ 上的 (m − 1)-形式, 则有 (−1)m ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω, ∂Σ 的定向由流形 M 诱导. 证明 如图2所示, 设 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1;Uα =: ϕα(Im+1))} N α=1 为 Σ ⊂ R m+1 的一个地图 ➀ 可参考: Dubrovin, Fomenko, Novikov.Modern Geometry-Methods and Applications, Vol.2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 3