微分流形上积分学—一流形上 Stokes公式 谢锡麟 此处xv(y)表示集合Ve的特征函数,jy)∈(Rm)满足 (y)∈0,1,vy∈Rm,jy)dy=1 由微积分,易见e(x)∈Ce(Rm)满足 supp oe(a)= V2E CU v∈V c(x)∈[0,1], Va∈Rmn 定理12(单位1分解( Partition of Unity).设McRm为有界闭集(紧致集),{Ul} Rm为M的任意一个有限开覆盖,则彐{01(x)}a1c6(m)满足 1. supp Bi(e)C Ui, i=l,.,N 62(x)∈0.1,c∈M, 3.∑(x)=1,Vx∈M i=1 证明对x∈M,可作B26-(x)cU,i=1,……,N,自然有 Mc∪B(x)c∪B(x)c∪U c∈M 由于McRm为有界闭集,按有限覆盖定理彐{B(ax,)}=1,满足 Mc∪B3(x)c∪B251(x)c∪U 故彐{V}1为M的开覆盖,满足v;cU,i=1,…,N.按引理11,对每一对{V,Uh},i= 1,…,N,可作1(x)∈(Rm),满足 supp oi(e)C Ui; o(x)≡1 vm∈V (c)∈o Va∈R 故可作 01()全 pi(a ∈6(R) oi(ar) 现有∑(x)>0,V∈M,满足: ①具体的函数形式可参考: Zorich. Mathematical Analysis,vol.2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,2004 Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol 2. Beijing: Beijing World Pub-微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 此处 χV ε (y) 表示集合 V ε 的特征函数, j(y) ∈ C ∞ c (R m) ➀ 满足 j(y) ∈ [0, 1], ∀ y ∈ R m, ∫ Rm j(y)dy = 1. 由微积分, 易见 ϕε(x) ∈ C∞ c (R m) 满足    supp ϕε(x) = V 2ε ⊂ U; ϕε(x) ≡ 1, ∀ x ∈ V ; ϕε(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 定理 1.2 (单位 1 分解 (Partition of Unity)). 设 M ⊂ R m 为有界闭集 (紧致集), {Ui} N i=1 ⊂ R m 为 M 的任意一个有限开覆盖, 则 ∃ {θi(x)} N i=1 ⊂ C ∞ c (R m) 满足: 1. supp θi(x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 2. θi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ M, 3. ∑ N i=1 θi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ M. 证明 对 ∀ x ∈ M, 可作 B2δx (x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 自然有 M ⊂ ∪ x∈M Bδx (x) ⊂ ∪ x∈M B2δx (x) ⊂ ∪ N i=1 Ui . 由于 M ⊂ R m 为有界闭集, 按有限覆盖定理 ∃ {Bδj (xj )} N˜ j=1, 满足 M ⊂ ∪ N˜ j=1 Bδj (xj ) ⊂ ∪ N˜ j=1 B2δj (xj ) ⊂ ∪ N i=1 Ui . 故 ∃ {Vi} N i=1 为 M 的开覆盖, 满足 V i ⊂ Ui , i = 1, · · · , N. 按引理1.1, 对每一对 {Vi , Ui}, i = 1, · · · , N, 可作 ϕi(x) ∈ C ∞ c (R m), 满足:    supp ϕi(x) ⊂ Ui ; ϕi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ Vi ; ϕi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 故可作 θi(x) , ϕi(x) ∑ N j=1 ϕj (x) ∈ C ∞ c (R m), i = 1, · · · , N, 现有 ∑ N j=1 ϕj (x) > 0, ∀ x ∈ M, 满足: ➀ 具体的函数形式可参考: Zorich. Mathematical Analysis, Vol.2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004; Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol.2. Beijing: Beijing World Pub￾lishing Corporation, 1999. 2